Erste Ableitung gleich null

f'(x) = 0

Basiswissen

Man hat hat eine Funktion f(x) und leitet sie einmal ab. Diese erste Ableitung nennt man auch f'(x). Diese erste Ableitung gleich null setzten heißt, man sucht einen x-Wert, bei dem für f'(x) die Zahl 0 herauskommt. Das ist hier kurz erklärt.

Eine wichtiger Unterschied: Wert oder Funktion?

Das Wort Ableitung wird in zwei ähnlichen aber leicht unterschiedlichen Bedeutungen verwendet. Für f(x)=x² ist f'(x)=2x die sogenannte Ableitungsfunktion. Und f'(4)=8 ist der sogenannte Ableitungswert, auch Steigung genannt, an der Stelle x=4. Beides, die Ableitungsfunktion wie auch den Ableitungswert an einer Stelle nennt man kurz oft Ableitung. In diesem Artikel steht Ableitung für den => Ableitungswert

Legende

◦ Das = ist das => Gleichheitszeichen
◦ Das < ist das => Kleinerzeichen
◦ Das > ist das => Größerzeichen
◦ Das <> ist das => Ungleichheitszeichen

1. Fall

◦ f'(x) = 0 meint immer:
◦ Graph verläuft dort waagrecht.
◦ Seine Steigung ist also 0.
◦ Siehe auch => Steigung

2. Fall

◦ f'(x) = 0
◦ f''(x) < 0
◦ Es ist ein => Hochpunkt

3. Fall

◦ f'(x) = 0
◦ f''(x) > 0
◦ Es ist ein => Tiefpunkt

4. Fall

◦ f'(x) = 0
◦ f''(x) = 0
◦ f'''(x) <> 0
◦ Es ist ein => Sattelpunkt

Die erste Ableitung als hinreichende Bedingung

Dort, wo die erste Ableitung zu Null wird hat der Graph der betrachteten Funktion auf jeden Fall die Steigung 0, er verläuft an dieser Stelle also waagrecht, das heißt, parallel zur x-Achse. Das Null-sein der ersten Ableitung ist damit für die Steigung 0 eine => hinreichende Bedingung

Die erste Ableitung als notwendige Bedingung

Dass die erste Ableitung an einem Punkt eines Graphen einer Funktion zu Null wird muss sein, soll der betrachtete Punkt auch ein Extrempunkt (Hoch- oder Tiefpunkt) sein. Das Null-sein der ersten Ableitung ist damit eine notwendige Bedingung für die Existenz eines Extremspunktes. Die Bedingung ist aber nicht hinreichend, der Graph könnte dort auch einen Sattelpunkt (kein Extrempunkt) haben oder eine Gerade sein (auch keine Extrempunkte). Lies mehr unter => notwendige Bedingung