Sattelpunkte bestimmen

Anleitung

Basiswissen

Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt bei dem zusätzlich noch die Steigung gleich 0 ist. Hier werden zwei Methoden zur Bestimmung vorgestellt.

Was meint Sattelpunkt hier?

◦ Ein Sattelpunkt ist ein Punkt auf dem Graphen einer Funktion.
◦ Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit der Steigung Null.
◦ Wendepunkt meint: die zweite Ableitung muss Null sein.
◦ Steigung Null meint: die erste Ableitung muss Null sein.
◦ An der Stelle wechselt die Krümmung (immer).
◦ SP ist hier die Abkürzung.

Hinreichende Bedingung =====

◦ f'(x) = 0 UND
◦ f''(x) = 0 UND
◦ f'''(x) <> 0

Über Ableiten

◦ Bilde die erste Ableitung f'(x).
◦ Bilde die zweite Ableitung f''(x).
◦ Bilde die dritte Ableitung f'''(x):
◦ Setze f'(x) = 0, gibt mögliche SP
◦ Setze gefundene x-Werte in f''(x) ein.
◦ Wenn f''(x) auch gleich Null, dann sind SP weiter möglich.
◦ Setze mögliche x-Werte in f'''(x) ein.
◦ Wenn f'''(x) dann ungleich Null ist ...
◦ Dann gehört der x-Wert zu einem SP.
◦ x-Wert in f(x) einsetzen gibt den ...
◦ dazu passenden y-Wert.

Über Dreifachnullstelle

◦ Jede Dreifachnullstelle eines Graphen ist automatisch ein Sattelpunkt.
◦ Aber: nicht jeder Sattelpunkt ist eine Dreifachnullstelle.
◦ Dreifachnullstellen kann man am Funktionsterm erkennen.
◦ Mehr unter => Dreifachnullstelle

zur Bildbeschreibung mit Autoren- und Urheberinfos — Man sieht den Graphen von: f(x)=x³.