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Sattelpunkte bestimmen

Anleitung

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Basiswissen


Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt bei dem zusätzlich noch die Steigung gleich 0 ist. Hier werden zwei Methoden zur Bestimmung vorgestellt.



Bildbeschreibung und Urheberrecht
Man sieht den Graphen von: f(x)=x³.☛


Was meint Sattelpunkt hier?


  • Ein Sattelpunkt ist ein Punkt auf dem Graphen einer Funktion.
  • Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit der Steigung Null.
  • Wendepunkt meint: die zweite Ableitung muss Null sein.
  • Steigung Null meint: die erste Ableitung muss Null sein.
  • An der Stelle wechselt die Krümmung (immer).
  • SP ist hier die Abkürzung.

Hinreichende Bedingung


  • f'(x) = 0 UND
  • f''(x) = 0 UND
  • f'''(x) <> 0

Über Ableiten


  • Bilde die erste Ableitung f'(x).
  • Bilde die zweite Ableitung f''(x).
  • Bilde die dritte Ableitung f'''(x):
  • Setze f'(x) = 0, gibt mögliche SP
  • Setze gefundene x-Werte in f''(x) ein.
  • Wenn f''(x) auch gleich Null, dann sind SP weiter möglich.
  • Setze mögliche x-Werte in f'''(x) ein.
  • Wenn f'''(x) dann ungleich Null ist ...
  • Dann gehört der x-Wert zu einem SP.
  • x-Wert in f(x) einsetzen gibt den ...
  • dazu passenden y-Wert.

Über Dreifachnullstelle


  • Jede Dreifachnullstelle eines Graphen ist automatisch ein Sattelpunkt.
  • Aber: nicht jeder Sattelpunkt ist eine Dreifachnullstelle.
  • Dreifachnullstellen kann man am Funktionsterm erkennen.