Definition

Auf einem Funktionsgraphen (Kurve) sind zwei Punkte gegeben. Die Bogenlänge s zwischen diesen Punkten ist definiert als der Abstand des gerade gestreckt gedachten Bogens. Die Länge kann mit Hilfe eines Integrals berechnet werden.

Bildbeschreibung und Urheberrecht — Die Länge eines Stückes von einem Funktionsgraphen bezeichnet man als Bogenlänge. Sie kann berechnet werden über die Integralrechnung.☛

Formel

s = ∫√^{[1+(f'(x))²]}·dx

Legende

f(x) = die gegebene 👉 Funktionsgleichung

a = x-Wert des linken Punktes auf dem Funktionsgraphen 👉 linke Integrationsgrenze

b = x-Wert des rechten Punktes auf dem Funktionsgraphen 👉 rechte Integrationsgrenze

s = von x=a bis x=b die 👉 Bogenlänge

∫ = das 👉 Integralzeichen

f'(x) 👉 erste Ableitung

dx 👉 Differential

Zahlenbeispiel

f(x) = -x²+6

a=1 und b=2

Formel: s = ∫√^{[1+(f'(x))²]}·dx

Einsetzen: s = ∫√^[1+(-2x)²]·dx

Vereinfachen: s = ∫√^[1+4x²]·dx

Aufleiten, Grenzen einsetzen und berechnen:

s ≈ 3,168

Überprüfung der Berechnung

Man kann die Plausibilität über einen maßstabsgerecht gezeichneten Funktionsgraphen überprüfen: man legt dann auf der Kurve des Graphen einen Faden zwischen die beiden Punkte, streckt den Faden und misst über ein Lineal nach.

Schwierigkeitsgrad der Berechnung

Für konkrete Probleme müssen die Aufleitungen von Wurzelfunktionen bestimmt werden.

Die entsprechenden Terme sind meist nicht mit einfachen Aufleitungsregeln zu bestimmen.

Man schlägt entsprechend nach in Tabellen zu 👉 Aufleitungen