Biquadratische Gleichungen lösen
Übersicht
Basiswissen
0 = 2x⁴-10x²+12 ist eine sogenannte biquadratische Gleichung. Typische Lösungsverfahren sind Probieren sowie die sogenannte Substitution. Hier steht eine kurze Übersicht zu verschiedenen Lösungsverfahren.
Die Lösungsverfahren in der Übersicht
- Standardverfahren biquadratische Gleichungen über Substitution ↗
- Oft sehr schnell biquadratische Gleichungen über Probieren ↗
Was ist eine biquadratische Gleichung?
Jede Gleichung, die man durch Äquivalenz-Umformungen in die Form 0 = x⁴ + bx² + c bringen kann heißt biquadratisch. Typisch für solche Gleichungen ist, dass das x genau einmal in der vierten Potenz vorkommt (x⁴) und genau einmal als Quadrat (x²). Mehr zur Definition unter biquadratische Gleichung ↗
Muss links immer eine Null stehen?
Nein, auch 44 = 3x⁴-x² ist eine biquadratische Gleichung. Auf der linken Seite steht keine 0 sondern die 44. Man kann diese Gleichung aber durch eine Äquivalenzumformung so umformen, dass links eine 0 steht: man zieht dabei auf beiden Seiten der Gleichung die Zahl 44 ab. Dann erhält man die Form: 0 = 3x⁴-x²-44. Lies mehr dazu unter Äquivalenzumformung ↗
Was heißt es, eine biquadratische Gleichung zu lösen?
0 = 2x⁴-10x²+12 hat als einzige Lösungen die Zahlen 2 und 3. Die 2 und die 3 sind die einzigen Zahlen, die man für x einsetzen kann, sodaß bei einer Berechnung aller Terme am Ende auf der linken und der rechten Seite dieselbe Zahl steht, hier also die Zahl 0. Man sagt auch, dass die Gleichungen mit den Lösungen aufgeht. Lies mehr dazu unter Lösung einer Gleichung ↗
Gibt es immer eine Lösung?
Nein, eine biquadratische Gleichung kann auch unlösbar sein. So hat zum Beispiel die Gleichung 0=x⁴+x²+1 keine Lösung. Es gibt keine Zahl, die man für x einsetzen kann, sodass die rechte Seite der Gleichung nach dem Ausrechnen den Wert 0 hat. Lies mehr unter unlösbare Gleichung ↗
Kann es mehrere Lösungen geben?
Ja, das ist auch der Normalfall. Eine biquadratische Gleichung kann keine, genau eine, genau zwei, genau drei oder sogar auch genau vier Lösungen haben. Alle fünf Möglichkeiten gibt es. Eine biquadratische mit vier Lösungen ist zum Beispiel 0 = x⁴-13x²+36. Die Lösungen sind die Zahlen -3, -2, 2 und 3. Für weitere Beispiele siehe unter biquadratische Gleichungen ↗
Aufgaben zu biquadratischen Gleichungen
Einige Trainingsaufgaben zu biquadratischen Gleichungen sind hier als Quickcheck zusammengestellt. Zu jeder Aufgabe gibt es immer auch eine Lösung. Direkt zu den Aufgaben geht es über => qck