Basiswissen

Was meint biquadratische Gleichung?

• Jede Gleichung, die man in die folgende Form bringen kann:
  

• 0 = ax^4 + bx² + c
  

• Das a darf jede reelle Zahl außer 0 sein.
  

• b und c dürfen beliebige reelle Zahlen sein.
  

• Die biquadratische Gleichung gehört zu den quartischen Gleichungen.
  

• Die quartischen Gleichungen gehören zu den ganzrationalen Gleichungen.
  

Was meint lösen?

• Das man für das x eine Zahl findet, ...
  

• mit der die Gleichung aufgeht.
  

Was meint Substitution?

• Subsitution ist ein anderes Wort für "Ersetzung".
  

• Man ersetzt das x² durch ein z.
  

• Man ersetzt das x^4 durch ein z².
  

Beispiel einer Substitution

• Man hat 0 = x^4 + x² - 20
  

• Man substituiert und dann wird daraus:
  

• 0 = z² + z - 20
  

Jetzt kommt die pq-Formel

• Durch die Substitution hat man jetzt eine quadratische Gleichung.
  

• Quadratische Gleichungen kann man immer mit der pq-Formel lösen.
  

• Mehr dazu unter Quadratische Gleichungen über pq-Formel ↗
  

• Beim Beispiel oben kämen als Lösungen heraus:
  

• z=4 und z=-5
  

Am Ende kommt die Rücksubstitution

• Über die pq-Formel für das z hat man Lösungen für z.
  

• Man will aber eigentlich Lösungen für das x.
  

• Dazu muss man "rücksubstitutieren".
  

• Man setzt beide z-Werte gleich x²:
  

• Also: x²=4 und x²=-5.
  

• x²=4 gibt als Lösungen -2 und 2.
  

• x²=-5 gibt keine Lösungen.
  

Antwort

• Die Gleichungen 0 = x^4 + x² - 20 ...
  

• hat die Lösungen -2 und 2.