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Binomischer Lehrsatz

(a+b)^n

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Basiswissen


(a+b)^n oder auch geschrieben als (a+b)ⁿ wird gesprochen als: „in Klammern a + b hoch n“: Das Binom ist nur der Teil in der Klammer, also das a+b. Ein Binom kann als Ganzes hoch eine natürliche Zahl (1, 2, 3 ...) gerechnet werden. Der binomische Lehrsatz gibt dann an, wie man die Klammer auflöst. Das ist hier erklärt.

Wofür gilt der Satz?


  • Beispiele: (a+b)³ oder (2x+9)²⁴ oder (200x³+6xyz)⁴⁰

Gilt der Satz auch für Differenzen?


  • Ja:
  • Man kann jede Differenz auch als Summe schreiben.
  • Man formt um nach dem Schema: a-b = a+(-b)
  • Dann wird zum Beispiel: (3-4)² zu (3+(-4))²
  • Das gibt: 3² + 2·3·(-4) + (-4)²
  • Also: 9 - 24 + 16

Beispiele für (a+b)ⁿ


  • (a+b)⁰ = 1
  • (a+b)¹ = a + b
  • (a+b)² = a² + 2ab + b²
  • (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
  • (a+b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴
  • (a+b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵

Beispiele für (a-b)ⁿ


  • (a-b)⁰ = 1
  • (a-b)¹ = a - b
  • (a-b)² = a² - 2ab + b²
  • (a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
  • (a+b)⁴ = a⁴ - 4a³b + 6a²b² - 4ab³ + b⁴
  • (a-b)⁵ = a⁵ - 5a⁴b + 10a³b² - 10a²b³ + 5ab⁴ - b⁵

Und wenn man mehr Summanden hat?


  • Beispiele: (a+b+c)² oder (a+b+c+d)³
  • Dann wird das Ausmultiplizieren schnell sehr aufwändig.
  • Ein Ausdruck aus drei Summanden heißt z. B. Trinom.

Allgemeine Formel für beliebig hohe Exponenten


  • (a+b)ⁿ = Σ (n über k) mal aⁿ⁻ᵏ mal bᵏ
  • für k von 0 bis n

Legende



Praktische Anleitung Schritt-für-Schritt


Dasselbe Ergebnis wie die Formel für den binomischen Lehrsatz - (a+b)ⁿ = Σ (n über k) mal aⁿ⁻ᵏ mal bᵏ gibt die folgende Schritt-Schritt Anleitung für beliebig hohe Exponenten n.

  • Allgemein: (a+b)ⁿ
  • Als Beispiel: (a+b)⁵
  • Im Beispiel: n=5

  • Man schreibt zuerst eine Pluskette mit n+1 mal dem a.
  • Im Beispiel schreibt man also 6 mal den Term für a auf:
  • Lasse dabei große Lücken:
  • Im Beispiel: a + a + a + a + a + a

  • Schreibe dann von links nach rechts absteigend vom n-Wert Exponenten an das a.
  • Der letzte Exponent ganz rechts ist dann immer die Zahl 0.
  • Im Beispiel a⁵ + a⁴ + a³ + a² + a¹ + a⁰

  • Schreibe dann hinter jede dieser Potenzen ein Malzeichen und den Term für das b:
  • Im Beispiel: a⁵·b + a⁴·b + a³·b + a²·b + a¹·b + a⁰·b

  • Schreibe dann von links nach rechts aufsteigend von 0 bis n Exponenten an das b:
  • Im Beispiel: a⁵·b⁰ + a⁴·b¹ + a³·b² + a²·b³ + a¹·b⁴ + a⁰·b⁵

  • Die noch fehlenden Zahlen vor den Termen heißen Koeffizienten.

  • Über den Term n über k:
  • Das n ist immer die fest vorgebene Zahl.
  • Das k ist die Hochzahl über dem b.
  • Man rechnet: n! durch [(n-k)!·k!]
  • Für a⁵·b⁰ rechnet man 5 über 0 = 1
  • Für a⁴·b¹ rechnet man 5 über 1 = 5
  • Für a³·b² rechnet man 5 über 2 = 10
  • Für a²·b³ rechnet man 5 über 3 = 10
  • Für a¹·b⁴ rechnet man 5 über 4 = 5
  • Für a⁰·b⁵ rechnet man 5 über 5 = 1

  • Jetzt schreibt man jetzt den gesamten Term mit Koeffizienten auf:
  • (a+b)⁵ = 1a⁵·b⁰ + 5a⁴·b¹ + 10a³·b² + 10a²·b³ + 5a¹·b⁴ + 1a⁰·b⁵
  • Vereinfachen: b⁰ und a⁰ kann man als 1 schreiben = hoch null
  • Vereinfachen: 1 mal irgendwas kann man weglassen mal eins ↗
  • Vereinfachen: malzeichen weglassen a·b ↗

  • Endergebnis:
  • (a+b)⁵ = a⁵ + 5a⁴·b + 10a³·b² + 10a²·b³ + 5ab⁴ + b⁵ ✔

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