Basiswissen

Wofür gilt der Satz?

• Man hat einen Klammerterm ↗
  

• In der Klammer steht eine Summe ↗
  

• Die Summe besteht aus genau zwei Summanden ↗
  

• Der Exponent, die Hochzahl ist immer nur eine natürliche Zahl ↗
  

• Beispiele: (a+b)³ oder (2x+9)²⁴ oder (200x³+6xyz)⁴⁰
  

Gilt der Satz auch für Differenzen?

• Ja:
  

• Man kann jede Differenz auch als Summe schreiben.
  

• Man formt um nach dem Schema: a-b = a+(-b)
  

• Dann wird zum Beispiel: (3-4)² zu (3+(-4))²
  

• Das gibt: 3² + 2·3·(-4) + (-4)²
  

• Also: 9 - 24 + 16
  

Beispiele für (a+b)ⁿ

• (a+b)⁰ = 1
  

• (a+b)¹ = a + b
  

• (a+b)² = a² + 2ab + b²
  

• (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
  

• (a+b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴
  

• (a+b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵
  

Beispiele für (a-b)ⁿ

• (a-b)⁰ = 1
  

• (a-b)¹ = a - b
  

• (a-b)² = a² - 2ab + b²
  

• (a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
  

• (a+b)⁴ = a⁴ - 4a³b + 6a²b² - 4ab³ + b⁴
  

• (a-b)⁵ = a⁵ - 5a⁴b + 10a³b² - 10a²b³ + 5ab⁴ - b⁵
  

Und wenn man mehr Summanden hat?

• Beispiele: (a+b+c)² oder (a+b+c+d)³
  

• Dann wird das Ausmultiplizieren schnell sehr aufwändig.
  

• Ein Ausdruck aus drei Summanden heißt z. B. Trinom.
  

• Siehe zu Beispiel Trinomische Formel ↗
  

Allgemeine Formel für beliebig hohe Exponenten

• (a+b)ⁿ = Σ (n über k) mal aⁿ⁻ᵏ mal bᵏ
  

• für k von 0 bis n
  

Legende

• a + b = allgemein für ein Binom ↗
  

• ⁿ = der Exponent, erlaubt nur als natürliche Zahl ↗
  

• ᵏ = vom Summenzeichen die Laufvariable ↗
  

• Σ = großes Sigma, hier als Summenzeichen ↗
  

• (n über k) ist der Binomialkoeffizient ↗
  

Praktische Anleitung Schritt-für-Schritt

• Allgemein: (a+b)ⁿ
  

• Als Beispiel: (a+b)⁵
  

• Im Beispiel: n=5
  

• Man schreibt zuerst eine Pluskette mit n+1 mal dem a.
  

• Im Beispiel schreibt man also 6 mal den Term für a auf:
  

• Lasse dabei große Lücken:
  

• Im Beispiel: a + a + a + a + a + a
  

• Schreibe dann von links nach rechts absteigend vom n-Wert Exponenten an das a.
  

• Der letzte Exponent ganz rechts ist dann immer die Zahl 0.
  

• Im Beispiel a⁵ + a⁴ + a³ + a² + a¹ + a⁰
  

• Schreibe dann hinter jede dieser Potenzen ein Malzeichen und den Term für das b:
  

• Im Beispiel: a⁵·b + a⁴·b + a³·b + a²·b + a¹·b + a⁰·b
  

• Schreibe dann von links nach rechts aufsteigend von 0 bis n Exponenten an das b:
  

• Im Beispiel: a⁵·b⁰ + a⁴·b¹ + a³·b² + a²·b³ + a¹·b⁴ + a⁰·b⁵
  

• Die noch fehlenden Zahlen vor den Termen heißen Koeffizienten.
  

• Ablesen kann man sie über ein Pascalsches Dreieck ↗
  

• Berechnen kann man sie mit den Term n über k ↗
  

• Über den Term n über k:
  

• Das n ist immer die fest vorgebene Zahl.
  

• Das k ist die Hochzahl über dem b.
  

• Man rechnet: n! durch [(n-k)!·k!]
  

• Zur Formel siehe Binomialkoeffizient ↗
  

• Für a⁵·b⁰ rechnet man 5 über 0 = 1
  

• Für a⁴·b¹ rechnet man 5 über 1 = 5
  

• Für a³·b² rechnet man 5 über 2 = 10
  

• Für a²·b³ rechnet man 5 über 3 = 10
  

• Für a¹·b⁴ rechnet man 5 über 4 = 5
  

• Für a⁰·b⁵ rechnet man 5 über 5 = 1
  

• Zum Berechnen Binomialkoeffizienten ↗
  

• Zum Ablesen Pascalsches Dreieck ↗
  

• Jetzt schreibt man jetzt den gesamten Term mit Koeffizienten auf:
  

• (a+b)⁵ = 1a⁵·b⁰ + 5a⁴·b¹ + 10a³·b² + 10a²·b³ + 5a¹·b⁴ + 1a⁰·b⁵
  

• Vereinfachen: b⁰ und a⁰ kann man als 1 schreiben = hoch null
  

• Vereinfachen: 1 mal irgendwas kann man weglassen mal eins ↗
  

• Vereinfachen: hoch 1 ist wie die Sache selbst hoch eins ↗
  

• Vereinfachen: malzeichen weglassen a·b ↗
  

• Endergebnis:
  

• (a+b)⁵ = a⁵ + 5a⁴·b + 10a³·b² + 10a²·b³ + 5ab⁴ + b⁵ ✔
  

Tipps zum Umformen

• a²b: erst das quadrat, dann mal b rechnen Rechenreihenfolge ↗
  

• a⁰ ist dasselbe wie 1 hoch Null ↗
  

• a¹ ist dasselbe wie 1 hoch eins ↗
  

• 1a ist wie a mal eins ↗
  

• a·b ist wie ab a·b ↗