Binomischer Lehrsatz
(a+b)^n
Basiswissen
(a+b)^n ist dasselbe wie (a+b)ⁿ. Man spricht: In Klammern a + b hoch n: Das Binom ist nur der Teil in der Klammer, also das a+b. Ein Binom kann als Ganzes hoch eine natürliche Zahl (1, 2, 3 ...) gerechnet werden. Was das im Einzelfall ergibt sagt der binomische Lehrsatz.
Wofür gilt der Satz?
◦ Man hat eine Klammer.
◦ In der Klammer steht eine Summe.
◦ Die Summe darf nur aus zwei Summanden bestehen.
◦ Die Klammer wird hoch einer natürlichen Zahl genommen.
◦ Der binomische Lehrsatz sagt, wie man so eine Klammer auflösen kann.
Gilt der Satz auch für Differenzen?
◦ Ja:
◦ Man kann jede Differenz auch als Summe schreiben.
◦ Man formt um nach dem Schema: a-b = a+(-b)
◦ Dann wird zum Beispiel: (3-4)² zu (3+(-4))²
◦ Das gibt: 3² + 2·3·(-4) + (-4)²
◦ Also: 9 - 24 + 16
Beispiele für (a+b)^n
◦ (a+b)⁰ = 1
◦ (a+b)¹ = a + b
◦ (a+b)² = a² + 2ab + b²
◦ (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
◦ (a+b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴
◦ (a+b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵
Beispiele für (a-b)^n
◦ (a-b)⁰ = 1
◦ (a-b)¹ = a - b
◦ (a-b)² = a² - 2ab + b²
◦ (a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
◦ (a+b)⁴ = a⁴ - 4a³b + 6a²b² - 4ab³ + b⁴
◦ (a-b)⁵ = a⁵ - 5a⁴b + 10a³b² - 10a²b³ + 5ab⁴ - b⁵
Und wenn man mehr Summanden hat?
◦ Beispiele: (a+b+c)² oder (a+b+c+d)³
◦ Dann wird das Ausmultiplizieren schnell sehr aufwändig.
◦ Ein Ausdruck aus drei Summanden heißt z. B. Trinom.
◦ Siehe zu Beispiel => Trinomische Formel
Umformungs-Tipps
◦ a²b ist wie a² mal b
◦ a²b: erst das quadrat, dann mal b rechnen
◦ a²b: a=2 und b=3 gibt 2²·3 = 12