Summenzeichen
Σ
Basiswissen
Das große griechische Sigma Σ steht in der Mathematik für das Summenzeichen[1]. Mit dem Summenzeichen kann man lange, nach einer Regel aufgebaute Plusketten in kurzer Form darstellen. Das ist hier ausführlich erklärt.
Das Sigmazeichen
Das große Sigma Σ in seiner einfachsten Schreibweise besteht aus zwei parallelen übereinander gezeichneten waagrechten Strichen. Diese zwei waagrechten Striche sind von ihren linken Endpunkten her mit kurzen nach rechts führenden schrägen Strichen verbunden. Siehe auch großes Sigma ↗
Aufbau des Terms
Unter diesem Sigma steht meist ein kleiner lateinischer Buchstabe, zum Beispiel das kleine k. Das ist die sogenannte Laufvariable, auch Laufindex genannt. Rechts neben der Laufvariablen steht ein Gleichheitszeichen gefolgt von einer natürlichen Zahl, dem Startwert. Über dem Sigma steht immer nur eine natürliche Zahl oder das Zeichen für plus unendlich (∞). Diese Zahl heißt Endwert. Rechts vom Sigma ein Term, der meist auch die Laufvariable k enthält.
Die Laufvariable
Das kleine k heißt Laufvariable oder Laufindex. Es ist ein Platzhalter. Für ihn soll man nacheinander verschiedene Zahlen einsetzen und damit den Wert des Terms rechts vom Summenzeichen. Man fängt damit an, dass man für k zuerst den Startwert einsetzt und dann der Reihe nach alle darauffolgende natürlichen Zahlen bis hin zum Endwert. Die verschiedenen so berechneten Ergebnisse dieser Termwerte sollen am Ende aufaddiert werden. Siehe auch Laufvariable ↗
Der Startwert
Der Startwert steht unten rechts am Summenzeichen. Der Startwert muss immer eine natürliche Zahl sein. Der Startwert ist die erste Zahl, die man für die Laufvariable k einsetzt, um damit den Wert des Terms rechts vom Summenzeichen zu berechnen.
Der Endwert
Der Endwert steht immer über dem Summenzeichen. Er ist immer eine natürliche Zahl oder das Zeichen für unendlich. Der Endwert ist die letzte Zahl, die man für die Laufvariable k einsetzt, um damit den Wert des Terms rechts vom Summenzeichen zu berechnen.
Der Term
Der Term rechts vom Summenzeichen wird der Reihe nach mit verschiedenen Werten für k berechnet. Man fängt mit dem Startwert für k, setzt dann der Reihe nach alle darauffolgenden natürlichen Zahlen ein und hört mit dem Endwert auf. Diese Termwerte addiert man am Ende alle auf.
Die Langform
Die Langform rechts ist der Summenterm Schritt-für-Schritt ausgeschrieben. Die einzelnen Terme die addiert werden nennt man Summanden oder auch Glieder. Solche Summenterme, die nach einem regelmäßigen Bildungsgesetz aufgebaut sind, nennt man in der Mathematik auch eine Reihe. Ist der Endwert eine natürliche Zahl, ist es eine endliche Reihe. Ist der Endwert unendlich, spricht man von einer unendlichen Reihe. Siehe mehr dazu unter Reihe (Analysis) ↗
Beispiele
- Startwert 1; Endwert 5; Term k³ gibt: 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ = 225 ✔
- Startwert 1; Endwert 5; Term x² gibt: 1² + 2² + 3² + 4² + 5² = 45 ✔
- Startwert 4; Endwert 7; Term 4k gibt: 16 + 20 + 24 + 28 = 88 ✔
- Startwert 4; Endwert 7; Term 21 gibt: 21 + 21 + 21 + 21 = 84 ✔
- Für viele dieser Terme gibt es Summenformeln (Mathematik) ↗
Fußnoten
- [1] Summe. In: Brockhaus in Achtzehn Bänden. F. A. Brockhaus. Leipzig, Mannheim. 2002. ISBN für alle Achtzehn Bände gemeinsam: 3-7653-9320-7. Band 13. Seite 422.
