R


Abschnittsweise definierte Funktion


Intervallsweise


Basiswissen


Aus zwei oder mehr Graphen setzt man lückenlos und ohne Überlappungen eine neue Funktion zusammen. Dabei hat jede der Teilfunktionen einen eigenen Definitionsbereich für erlaubte x-Werte. Die Definititionsbereiche grenzen an den Nahtstellen lückenlos und ohne Überlappung aneinander. Das ist hier kurz vorgestellt.

Beispiel einer abschnittsweise definierten Funktion



Praxisbeispiel Chemie


Die chemische Löslichkeit des weißen Pulvers Natriumsulfaft in Wasser steigt von 0 °C bis auf rund 30 °C erst steil an. Dann erfolgt ein Knick und die Löslichkeit sinkt langsam fast linear wieder ab. Siehe dazu Löslichkeit von Natriumsulfat ↗

Praxisbeispiel Steuern


Die Einkommenssteuer steigt mit dem Einkommen: je größer das Einkommen einer Person ist, desto größer soll auch der Anteil der Steuern sein, die man darauf bezahlt. Mathematisch ist das über eine abschnittsweise definierte Funktion gelöst. Lies mehr dazu unter Einkommenssteuer (Berechnung) ↗

Abgrenzung zu verketteten und verknüpften Funktionen



Stetigkeit bei einer abschnittsweise definierten Funktion


Oft interessiert die Frage, ob eine abschnittsweise definierte Funktion an einem solchen Zusammenfügepunkt stetig ist. Das heißt: der linke Funktionsteil und der rechte Funktionsteil müssen bei demselben x-Wert an der Fügestelle auch denselben y-Wert haben. Beispiel: man definiert, dass eine Funktion f(x) von x=0 bis x=4 den Funktionsterm x² hat. Für alle x-Werte größer 4 definiert man dann, dass die Funktionsgleichung den Term 2x+8 hat. Nun überprüft man: haben die beiden zusammengefügten Terme bei x=4 denselben Funktionswert? Nur dann sind sie an der Fügestelle auch stetig. Hier trifft das zu: f(4) hat für x² den Funktionswert 16. Und auch f(4) für den Term 2x+8 gibt als y-Wert 16. Anschaulich heißt das, dass die Teilabschnitte ohne Lücke zusammengefügt sind. Siehe auch Stetigkeit ↗

Knickfreiheit bei einer abschnittsweise definierten Funktion


Eine abschnittsweise definierte Funktion ist an einer Nahtstelle knickfrei, wenn sie dort a) stetig ist und b) beide Teilfunktion an dieser Nahtstelle nicht nur denselben y-Wert haben sondern auch dieselbe Steigung. Sie haben dann dieselbe Steigung, wenn für den x-Wert der Nahtstelle für beide Teile auch derselbse Wert für f'(x) herauskommt. Die Abschnitte f(x)=x² und f(x)=8x-16 sind an der Stelle x=4 sowohl stetig (gleicher y-Wert) als auch knickfrei zusammengefügt. Denn f'(x) für x² gibt f'(x)=2x und f'(x) für 8x-16 gibt f'(x)=8. Beide Ableitungen geben für f'(4) den Wert 8. Siehe auch knickfrei ↗

Differenzierbarkeit bei einer abschnittsweise definierten Funktion


Eine abschnittsweise definierte Funktion ist an einer Nahtstelle differenzierbar, wenn sie dort sowohl a) stetig, als auch b) knickfrei ist. Im Prinzip ist diese Bedingung auch schon in der Definition von Knickfreiheit enthalten. Damit sind die zwei Worte eigentlich Synonyme. Siehe auch Differenzierbar ↗