Basiswissen

Was meint differenzieren?

• Innerhalb der Mathematik gehört das Wort differenzieren in die Analysis ↗
  

• Es hat dort dieselbe Bedeutung wie das Wort ableiten.
  

• Es meint: die erste Ableitung f'(x) einer Funktion bilden.
  

• Graphisch meint es: die Steigung eines Graphen ...
  

• in einem bestimmten Punkt bestimmen.
  

• Siehe auch differenzieren ↗
  

Was meint differenzierbar anschaulich?

• Differenzierbarkeit bezieht sich immer auf einen Punkt auf einem Graphen.
  

• Es meint: man kann für den Punkt eindeutig eine endliche Steigung angeben.
  

• Graphisch meint das, dass man dort eindeutig eine Tangente anlegen kann.
  

• Anschaulich sind das alle Punkte, die keine Lücke oder Knick im Graph sind.
  

• Lücken oder Knicke im Graphen sind nicht differenzierbare Stellen.
  

• Bei einer Lücke oder an einem Knick kann man keine eindeutige Steigung angeben.
  

• Anschaulich heißt differenzieren für einen Punkt auf einem Graphen:
  

• Es gibt dort eine einzige eindeutige Tangente ↗
  

Notwendige Bedingungen für Differenzierbarkeit

• Eine Funktion f(x) ist an einer Stelle xo differenzierbar, wenn sie ...
  

• a) an dieser Stelle stetig ist und gleichzeitig...
  

• b) der linksseitige Grenzwert der Tangentensteigung endlich ist und ...
  

• c) der rechtsseitige Grenzwert der Tangentensteigung endlich ist und ...
  

• d) der linksseitige Grenzwert der Tangentensteigung gleich dem rechtsseitigen Grenzwert ist.
  

• Alle vier Bedingungen müssen zusammen gleichzeitig erfüllt sein.
  

• Ist ein der vier Bedingungen nicht erfüllt, ist f(x) bei xo nicht differenzierbar.^[1]
  

Nicht differenzierbar

• Funktionen mit Knicken oder Lücken sind an diesen stellen nicht differenzierbar.
  

• Eine Lücke hat z. B. f(x)=1/x an der Stelle x=0, siehe unter Normalhyperbel ↗
  

• Knicke hat zum Beispiel die sogenannte Zickzack-Funktion ↗
  

Rechenbeispiel I

• Man hat die Funktion: f(x) = x²
  

• Der Punkt (3|9) liegt auf dem Graphen.
  

• Was ist die Steigung in diesem Punkt?
  

• Man leitet f(x) und erhält f'(x)=2x.
  

• x-Wert dort einsetzen gibt 2·3=6.
  

• 6 ist die Steigung im Punkt (3|9).
  

• f(x) war dort als differenzierbar.
  

Rechenbeispiel II

• Man hat die Funktion: f(x) = 1/x²
  

• Umgeformt ist das gleich: f(x) = x hoch -2
  

• Die erste Ableitung f'(x) = -2 mal x hoch -A
  

• Umgeformt ist das gleich: f'(x) = -2/(x^3)
  

• Setzt man x=0 ein in f'(x) erhält man: -2/(0)
  

• Die Division durch 0 ist aber nicht definiert.
  

• Also kann man für x=0 keine Steigung berechnen.
  

• f(x) ist an der Stelle x=0 nicht differenzierbar.
  

Formale Überprüfung

• Man überprüft die Differenzierbarkeit immer an einer Stelle.
  

• Stelle meint in der Analysis immer einen bestimmten x-Wert.
  

• Die Funktion muss an dieser Stelle stetig sein.
  

• Stetig meint: keine Lücke, kein Sprung im y-Wert.
  

• Und: der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert ...
  

• für den Differentialquotienten muss die gleiche Zahl ergeben.
  

• Diese zweite Bedingung meint graphisch: knickfrei.
  

Differenzierbare Funktion

• Spricht man von einer differenzierbaren Funktionen, ...
  

• dann meint man damit: dass alle Punkte im Definitionsbereich differenzierbar sind.
  

Fußnoten

• [1] Definition nach: Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium. Band 1. 14. Auflage, 2019. ISBN: 978-3-658-05619-3. Verlag Springer Vieweg. Seite 326.