Wagenpendel

Physik

Grundidee｜ Video｜ Einführung｜ Das Superpositionsprinzip｜ Die Erde als Impulspartner｜ Verwandter Versuch｜ Naturphilosophie｜ Fußnoten

Grundidee

Ein Wagenpendel zeigt, wie die Schwingung einer Pendelmasse durch eine entgegengesetzte Hin- und Herbewegung eines Podestwagens ausgeglichen wird. Durch die Ausgleichsbewegung bleibt der Gesamtimpuls des Systems erhalten, also über die Zeit hinweg unverändert. Stellt man das Pendel aber auf einen robusten Tisch, sieht man keine solche Ausgleichsbewegung mehr. Wer oder was gleicht dann den ständig sich ändernden Impuls der Pendelmasse aus? Zur Erklärung kann man mehrere Prinzipien der Physik verwenden.

Video

An einem Faden hängen in einem Sack 200 Gramm Metall. Der Sack schwingt als Pendelmasse hin und her. Das Pendel steht auf einem improvisierten Wagen. Der Wagen bewegt sich entgegen der Pendelmasse und gleicht so die Änderung des Impulses aus.

Einführung

Der Impuls eines Gegenstandes in Bewegung ist so etwas wie sein Schwung, seine Wucht. Das Wort Schwung gib gut die Idee der Bewegung wieder, die Wucht die Fähigkeit etwas anderes an- oder umzustoßen (Kraftstoß). In der Physik berücksichtigt der Impuls p sowohl die Stärke als auch die Richtung von Schwung oder Wucht.

Stärke als Skalar

Die Stärke des Impulses ist das Produkt aus der Masse des sich bewegenden Körpers und seiner Geschwindigkeit v, kurz: p = m·v. Die Formel gibt gut wieder, dass eine Verdopplung der Masse (bei gleicher Geschwindigkeit) den Impuls verdoppelt. Und eine Verdopplung der Geschwindigkeit (bei gleicher Masse) würde ebenfalls den Impuls verdoppeln. Der Impuls ist damit proportional zur Masse und zur Geschwindigkeit

Der Zahlenwert der Impulsstärke ist der 👉 Betrag

Die Einheit des Impulses ist die 👉 Newtonsekunde

Eine Größe aus Zahl und Einheit heißt 👉 skalar

Verdoppelt man beide Werte, also die Masse und die Geschwindigkeit, würde man damit die Stärke des Impulses also vervierfachen. Um zu sagen, wie stark ein Impuls ist, genügt also die Angabe eines Zahlenwertes, verbunden mit einer Einheit. Solche Größen nennt man in den Physik 👉 skalar

Richtung als Vektor

Der Impuls der Physik berücksichtigt neben der Stärke aber auch die Richtung. Man stellt den Impuls dann als einen Pfeil dar. Die Länge des Pfeiles entspricht dabei der Stärke des Impulses. Und die Richtung des Pfeiles zeigt, in welche Richtung sich der betrachtete Körper bewegt. Das ist dann auch die Richtung des Impulses selbst. Eine Größe, die gleichzeitig Stärke und Richtung abbildet, bezeichnet man in der Physik als 👉 Vektorgröße

Erhaltung des Impulses

Der Impuls gehört zu den sogenannten Erhaltungsgrößen. Bei einer Erhaltungsgröße kann unter dem Strich nichts dazu kommen oder verloren gehen. Wenn also irgendwo im Universum der Impuls einer Sache größer wird, dann muss gleichzeitig der Impuls einer anderen Sache um den gleichen Betrag kleiner werden. Wenn also die Pendelmasse eines Pendels in eine Richtung schneller wird, dann muss gleichzeitig irgendetwas anderes im Universum in die entgegengesetzte Richtung schneller werden.

Wenn irgendwo ein Gegenstand seine Geschwindigkeit ändert, muss dafür zum Ausgleich ein anderer Gegenstand als Impulspartner seine Geschwindigkeit ebenfalls ändern, und zwar in entgegengesetzter Richtung.

Das Superpositionsprinzip

Richtungen einzeln betrachtbar

Das Superpositionsprinzip der Physik besagt unter anderem, dass man Bewegungsabläufe der Physik Teilbewegungen nach verschiedenen Richtungen zerlegen kann. Diese Teilbewegungen, etwa nur in vertikaler Richtung nach oben und unten oder nur in horizontaler Richtung nach links und rechts, bezeichnet man auch als Komponenten der ursprünglich zusammengesetzten Bewegung. Für jede dieser Komponenten muss dann immer auch die Erhaltung des Impulses gewährleistet bleiben. Erinnert man sich daran, dass der Impuls sich auch schon dann ändert, wenn sich die Richtung einer Bewegung ändert, dann kann man fordern:

Merksatz:

Wenn ein Körper von links nach rechts schneller wird, dann muss irgendwo ein anderer Körper von rechts nach links schneller werden. Dieselbe Logik gilt aber auch für eine Bewegung von oben nach unten und sogar für jede beliebige Richtung schräg gedacht.

Rechts-links ist gut verständlich

Betrachtet man die Schwingung des Pendels wenn es auf dem Rollbrett steht, kann man die Gültigkeit des obigen Satzes direkt mit eigenen gut Augen nachvollziehen. Geht die Pendelmasse von links nach rechts, bewegt sich der Wagen entgegengesetzt von rechts nach links. Und mit umgekehrter Richtung gilt analog dasselbe.

Oben-unten wird knifflig

Nach dem Superpositionsprinzip kann man mit voller Berechtigung jetzt aber auch fragen, wer denn von unten nach oben schneller wird, wenn die Pendelmasse in ihrer Abwärtsbewegung von oben nach unten an Geschwindigkeit gewinnt. Weder das Stativ noch der Tisch zeigen eine irgendwie erkennbare Bewegung. Könnte die Luft dem Impuls aufnehmen? Dann müsste sich rhythmisch zum Auf und Ab des Pendels auch die Luft rhythmisch auf und ab bewegen. Und wenn die Luft die Lösung des Problems ist, wie könnte dann ein Pendel im luftleeren Raum, etwa auf der Mondoberfläche, schwingen? Die Luft ist es wohl eher nicht, die den Impuls der Pendelmasse kompensiert. Bleibt als Lösungsmöglichkeit noch die ganze Erdkugel. Dieser Gedanke wird gleich näher betrachtet.

Das Wagenpendel bestätigt empirisch wie der Impuls in horizontaler Richtung konstant bleiben kann. Das Pendel auf dem festen Tisch wirft die Frage nach dem Körper auf, der den Impuls der Pendelmasse ausgleicht. Dieselbe Frage stellt sich für den vertikalen Impuls beim Wagenpendel. In Betracht kommt die Erdkugel.

Man könnte also die Erde sozusagen als einen Impulspartner, eine Rückstoß-, Ausgleichs- oder Gegenmasse oder als Reaktionskörper bezeichnen. Über die Kenntnis der Erdmasse kann man leicht die Größenordnung der nötigen Geschwindigkeitsänderung abschätzen. Das Ergebnis wird erkenntnistheoretisch interessant werden.

Die Erde als Impulspartner

Soll die Erde die Änderung des Impulses der Pendelmasse ausgleichen, muss die Änderung ihres Impulses betraglich genauso groß sein wie die Änderung des Impulses der Pendelmasse. Die Änderung des Impulses der Pendelmasse kann man aus der abgeschätzten Fallhöhe des Pendels über die Gleichsetzung von Höhen- und Bewegungsenergie, also von potentieller und kinetischer Energie eingrenzen. Mit Kenntnis der betraglichen Impulsänderung der Erde kann man dann auch die theoretisch nötige Änderung der Geschwindigkeit der Erde bei der Pendelbewegung abschätzen.

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Bleikugel: geschätzte Fallhöhe (senkrecht Distanz): etwa 10 Zentimeter oder 0,1 Meter. Gewogene Masse der Bleikugel, etwa 80 Gramm oder 0,08 Kilogramm. Höhenenergie der Bleikugel im höchsten Punkt, relativ zum tiefsten Punkt über m·g·h gibt ≈ 0,08 Joule. Gleichsetzen mit mit ½mv² für die Bewegungsenergie, auflösen nach v gibt: v ≈ 1,4 m/s. Diese Geschwindigkeit multipliziert mit der Masse der Kugel gibt als Kugelimpuls im Bahntiefsten ≈ 0,1 Ns ✓

Dieses Zehntel eine Newtonsekunde ist also die betragliche Änderung des Impulses der Bleikugel. Diese Impulsänderung muss dann auch die Erdkugel mitmachen können. Über p = m·v kann man dann für die Erde die Änderung ihrer Geschwindigkeit bestimmen.

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Erdkugel: 0,1 Ns = 6·10^24 kg mal v. Umstellen nach v gibt als Geschwindigkeitsänderung der Erdkugel ≈ 0,167 mal 10-25 m/s. ✓

Das ist eine unvorstellbar kleine Zahl. Wer lieber in der Dezimaldarstellung denkt, für den ist die Zahl hier in Dezimalschreibweise ausgeschrieben: 0,0000000000000000000000000167

So viel Meter pro Sekunde schnell müsste die Erdkugel maximal sein, wenn sie Bewegung der Bleikugel zum Zwecke eines Erhalts des Gesamtimpulses ausgleichen sollte. Selbst wenn ich in der Rechnung oben einen Fehler gemacht haben sollte, etwa beim Platzieren des Kommas in der überlangen Folge von Nullen bleibt doch die Tatsache davon unberührt, dass die Geschwindigkeit weit, weit unterhalb jeder Messbarkeit liegt. Es gibt kein Gerät, dass eine solche Änderung der Erdgeschwindigkeit real überprüfen könnte. Und genau das führt zu einer erkenntnistheoretisch bis philosophisch bedeutsamen Folge.

Merksatz:

Wenn ein Pendel auf einem festen Tisch tatsächlich die Erde als Impulspartner hat, dann ist bei den theoretisch nötigen Bewegungen die Geschwindigkeit der Erde so geringe, dass sie weit unterhalb der Grenze des praktisch Messbaren liegt.

Naturphilosophie

Große Fragen

Seit Jahrtausenden suchen Philosophen nach den Antworten auf die Großen Fragen des Lebens. Was ist Gerechtigkeit? Gibt es ein Leben nach dem Tod? Gibt es einen Gott? Was war vor dem dem Beginn der Welt? Was ist unsere Rolle im Universum? Wie sicher ist überhaupt unser Wissen über die Welt? Oft sind es nur wenige kindliche Fragen, die von einfachsten Beobachtungen schnell zu den Großen Themen führen. Vor allem die letzte Frage, die nach der Zuverlässigkeit unseres Weltwissens, wird sich dem konsequenten Denker unausweichlich in den Weg stellen, wenn den Satz von der Erhaltung des Impulses am Beispiel des Wagenpendels naturwissenschaftlich streng prüfen möchte.

Dieses Bild ist für das Verständnis des Textes nicht wichtig. Das Bild wird im Text nicht erwähnt.

Luna, der Mond, umkreist die Erde als unterster aller Himmelskörper. Unterhalb der Umlaufbahn des Mondes, das heißt sublunar nämlich wörtlich, gelten die Gesetze der vergänglichen, irdischen, unvollkommenen Welt. Oberhalb der Mondbahn, translunar, liegen bewegen sich die anderen Himmelskörper. Dort, in den himmlischen Sphären, gelten die Gesetze einer göttlichen Perfektion. Das Bild von den Sphären steht für die Idee, dass sich die Naturgesetze der Erde in einen wohl geordneten, größeren Weltentwurf einfügen. Dieser Anspruch haftet der heutigen Physik kaum mehr in ernst zu nehmender Weise mehr an.

Gott immer mitgedacht

Die abendländische Philosophie hat abgesehen von der ein oder anderen Nischenströmung (etwa die Vorsokratiker des antiken Griechenland) lange Zeit hinweg versucht, den physikalischen Aufbau der Welt als Teil eines großen Sinnganzen zu verstehen. Ein Platon etwa sah in einem Reich der ewigen Idee nicht nur die Urformen naturphysikalischer Gesetze angesiedelt sondern auch Das Gute und Das Schöne. Aristoteles legte der Materie ihr innewohnende Ziele bei. Und die christlichen Philosophen bis weit ins westeuropäische Mittelalter dachten die Welt immer von Gott her und immer wieder hin zu Gott. In der Astronomie unterschied man über Jahrhunderte eine sublunare Welt (in der auch wir wohnen), in der ganz andere Naturgesetze gelten sollten als in der himmlischen und göttlichen Welt darüber. Und der Maßstab für die Gesetze in den höheren Sphären des Himmels war immer auch die unterstellte Perfektion Gottes. Ein hier im Zusammenhang mit dem Wagenpendel besonders zutreffendes Beispiel ist die lange Werdegeschichte des Impulsbegriffes. Wer darüber mehr erfahren möchte, wird unter dem Stichwort Impetustheorie fündig. Schon früh hatte man geahnt, dass eine Bewegung nicht aus dem Nichts heraus entstehen könne. Doch wenn es heute Bewegung gibt, dann muss sie ja einen Ursprung haben. Und diesen Ursprung sah man wieder in Gott als erstem Beweger oder auch als unbewegter Beweger.

Ablösung von Gott

Die ersten ernsthaften Versuche, sich in Westeuropa mit der Philosophie von der christlichen Theologie abzulösen, kann man im 13. und 14. Jahrhundert bei Denkern wie Albertus Magnus, Roger Bacon oder Johannes Buridanus finden.

ZITAT:

Albertus Magnus, 1251: "Im Studium der Natur sollen wir nicht danach fragen, wie es Gott dem Schöpfer beliebte, seine Geschöpfe Wunder vollbringen zu lassen, um damit seine Macht zu zeigen. Stattdessen sollten wir eher untersuchen, was die Natur mit den ihr innewohnenden Ursachen zuwege bringt".^[1]

Nur beispielhaft stehen diese Namen für viele Wissenschaftler einer bald stark anschwellenden Strömung, die Naturphilosophie, das heißt Physik, von der Theologie emanzipieren wollten. Was wahr und was falsch sei, das sollte sich nicht mehr darüber entscheiden, wie gut etwas in ein übergeordnetes Weltbild passt, sondern ob es in Einklang steht mit Beobachtungen an der physikalischen Wirklichkeit. Wenn sich Planeten auf Kreisbahnen bewegten, dann nicht deshalb, weil Kreis und Kugel die "perfektesten Figuren" waren, sondern weil Messergebnisse am Nachthimmel es so bestätigten.

Sieg des Empirismus

Im 17. und 18. Jahrhundert hatten sich Naturwissenschaften weitgehend von der Theologie emanzipiert. Während es im Mittelalter noch als Wahrheitskriterium gegolten haben könnte, ob eine Aussage zu der Offenbarung der Bibel und dem christlichen Weltbild passte, galt vielen Naturforschern wie Galilei, Newton Huygens (und vielen mehr) Experiment und Beobachtung als letzter Richter über wahr und falsch.

ZITAT:

Christiaan Huygens, 1690: man erlangt fast sicheres Wissen, "wenn man gezeigt hat, dass die angenommenen Prinzipien auf perfekte Weise mit den Phänomenen übereinstimmen, die man im Experiment zur Beobachtung gebracht hat."^[2]

Verschiedene Phänomene rund um den sogenannten Rückstoß bestätigen die Idee vom Erhalt des Impulses. Man kann den Antrieb von Raketen genauso damit verstehen wie die heftigen Bewegungen von Geschützen direkt nach dem Abschuss eines Geschosses.

Erfolge des Empirismus

Mit dieser Methode, einer ständigen Überprüfung von Annahmen, Prinzipien und Theorien an der Wirklichkeit, und zwar durch Messungen, wurden die großen Erfolge der Naturwissenschaften seit dem 18. Jahrhundert bis heute zustande gebracht. Man fand heraus, dass Hygiene viele Todesfälle im Kindbett vermeiden kann, dass Erdbeben kein Zorn Gottes waren und man lernte Raketen zu bauen, mit denen der Mensch bis hinter den Mond in den Bereich der vormals himmlischen Sphären (translunar) vordringen konnte. Ermutigt durch diese Erfolge, fordern Wissenschaftler heute mit großer Strenge ein, dass jede Theorie und jede Aussage immer wieder an den Fakten geprüft werden muss. Was sich dem nicht beugt oder beugen kann, wird von naiven Denkern als "philosophisch", "metaphysisch" oder in noch schärferer Form als "pseudowissenschaftlich" abgetan. Zum historischen Werdegang und der Methodik dazu siehe auch den Artikel über den 👉 Empirismus

Selbstüberforderung

Aber vielleicht ist die strenge Forderung, nur empirisch geprüftes gelten zu lassen, eine Selbstüberforderung der Wissenschaft. Vielleicht können die empirisch arbeitenden Wissenschaften gerade in ihren fundamentalen methodischen Prinzipien ihren eigenen Anforderungen nicht gerecht werden. Denn es gibt viele Schlüsse und Folgerungen aus den allgemein anerkannten Theorien, die man aus praktischen oder sogar aus theoretischen Gründen nicht am Experiment überprüfen kann. Das Wagenpendel liefert dafür ein gutes Beispiel. Höre wir aber zuerst, wie der Philosoph Charles Sanders Peirce (1839 bis 1914) an die Grenzen der Empirie erinnert. Es lohnt sich, das Zitat in ganzer Länge zu lesen.

ZITAT:

Charles Sanders Peirce, 1891: "Für denjenigen, der hinter den Kulissen steht und weiß, dass die raffiniertesten Vergleiche von Massen, Längen und Winkeln – obgleich sie alle anderen Messungen an Präzision bei Weitem übertreffen – dennoch hinter der Genauigkeit von Bankkonten zurückbleiben, und dass die gewöhnlichen Bestimmungen physikalischer Konstanten, wie sie Monat für Monat in den Fachzeitschriften erscheinen, ungefähr auf dem Niveau der Maße eines Polsterers für Teppiche und Vorhänge liegen: Demjenigen wird die Vorstellung, im Labor werde mathematische Exaktheit demonstriert, einfach lächerlich erscheinen. Es gibt eine anerkannte Methode zur Abschätzung der wahrscheinlichen Größenordnung von Fehlern in der Physik – die Methode der kleinsten Quadrate. Es ist allgemein anerkannt, dass diese Methode die Fehler kleiner erscheinen lässt, als sie wirklich sind; doch selbst nach dieser Theorie ist ein unendlich kleiner Fehler unendlich unwahrscheinlich, sodass jede Behauptung, wonach eine bestimmte kontinuierliche Größe einen bestimmten exakten Wert besitze – sofern sie überhaupt fundiert ist –, auf etwas anderem als auf Beobachtung beruhen muss."^[4]

Und selbst die Naturgesetze der Mechanik lassen sich im Bereich unterhalb der Schwelle der Messbarkeit nicht grundsätzlich bestätigen.

ZITAT:

Charles Sanders Peirce, 1891: "Beobachtungen, die gewöhnlich zugunsten einer mechanischen Kausalität angeführt werden, beweisen lediglich, dass es ein Element der Regelmäßigkeit in der Natur gibt, und haben keinerlei Bedeutung für die Frage, ob diese Regelmäßigkeit exakt und universell ist oder nicht. Nein, was diese Exaktheit betrifft, steht ihr jede Beobachtung direkt entgegen; und das Höchste, was gesagt werden kann, ist, dass ein Großteil dieser Beobachtungen wegdiskutiert werden kann. Versuchen Sie, irgendein Naturgesetz zu verifizieren, und Sie werden feststellen: Je präziser Ihre Beobachtungen sind, desto sicherer werden sie unregelmäßige Abweichungen vom Gesetz zeigen. Wir sind daran gewöhnt, diese – und ich sage nicht zu Unrecht – Beobachtungsfehlern zuzuschreiben; dennoch können wir solche Fehler gewöhnlich nicht auf eine von vornherein plausible Weise erklären."^[5]

Zurück zum Wagenpendel

Das passt sehr gut auf unsere Berechnung der Geschwindigkeit der Erde wie sie nötig wäre, um die Änderung des Impulses eines Pendels zu kompensieren. Die fast verschwindend geringe Geschwindigkeitsänderung der Erde müsste laut den Gesetzen der Mechanik vorhanden sein. Aber überprüfen lässt sich das nicht. Und so haben die Gesetze wie der Satz von der Erhaltung des Impulses kein absolut fest gegründetes Fundament in der Naturbeobachtung. Auch die Gesetze der Physik können letzten Endes in den Status bloß methodisch sinnvoller aber letzten Endes metaphysischer Annahmen herab sinken.

VERMUTUNG:

Wenn fundamentale Gesetze der Mechanik wie der Satz von der Erhaltung des Impulses nicht restlos über Beobachtung und Experiment empirisch überprüft werden können, dann darf die Aussagekraft von Naturgesetzen an sich hinterfragt werden.

Gesetze nur stochastisch

Tatsächlich wurde im Nachgang zu Peirce die Naturgesetze im frühen 20. Jahrhundert ganz auf die Basis von bloßen Wahrscheinlichkeitsgesetzen gestellt. Fundamental ist heute die Quantenphysik. Und diese ist in ihren Fundamenten wiederum stochastisch, dass heißt, sie macht nur Wahrscheinlichkeitsaussagen. Es gibt heute kein bekanntes Gesetz der Quantenphysik, dass uns eine zuverlässige Vorhersage erlaubt, wo auf einem Versuchsschirm man ein Photon antreffen wird, das von einer Lichtquelle kommend durch den Aufbau eines Doppelspaltexperiment geht. Die modernen Naturgesetze liefern für Vorhersagen nur noch eine 👉 Wahrscheinlichkeitsverteilung

Zweifel erneuert

Aber selbst die Wahrscheinlichkeitsverteilungen selbst sind als Heeren Naturgesetze empirisch nicht überprüfbar. Auch darauf wies Peirce in seinem Aufsatz von 1891^[3] hin. Es gibt keine sichere Methode, einen verborgenen Einfluss auf vermeintlich zufällig zustande gekommene Messwerte auszuschließen. Diese Skepsis ist weiter ausgearbeitet im Artikel zum 👉 Calvin-Würfel

Die Große Frage

"Was soll's?", könnte man fragen. "Welche Bedeutung soll es schon haben, wenn hier und da die klitzekleinen Photonen zufällig oder auch nicht umherflitzen?" Oder "wen soll es scheren, ob die Erde unmessbar wenig an Geschwindigkeit gewinnt oder verliert, wenn ich ein kleines Pendel in Gang setze?". Solche Unbekümmertheit verkennt die denkbaren Mechanismen, die aus einem vermeintlichen Zufallsgeschehen einen gerichteten Gang der Welt machen könnten. So wenig wie wir empirisch sauber ausschließen können, dass sich die Erde beim Wagenpendel in Wirklichkeit überhaupt nicht mitbewegt, so wenig können wir empirisch sauber ausschließen, dass hinter dem Zufall ein lenkender Einfluss steht. Und mit diesem Gedanken halten auch eine Schar von unsichtbaren Wesen als mögliche Mitbewohner Einzug in unsere Welt. Wenn Zufall in vielen (oder allen?) seinen Erscheinungsformen nur ein vermeintlicher ist, könnte dann hinter dem scheinbar ziellosen Gewusel der Materie das Wirken von Wesenheiten wie Engeln, Geistern, Kobolden, Göttern und letzten Endes irgendwie gearteter (Freier) Willen stehen. Das ist die Größe Frage. Wie ein "gelenkter Zufall" Einfluss auf den Gang der Welt nehmen wird diskutiert im Artikel zum 👉 Weichenereignis

Fußnoten

[1] Albertus Magnus, 1251: "In studying nature we have not to inquire how God the Creator may, as He freely wills, use His creatures to work miracles and thereby show forth His power: we have rather to inquire what Nature with its immanent causes can naturally bring to pass". In: Albertus Magnus: De Coelo et Mundo, I, tr. iv, x. Übersetzt und zitiert nach: Kennedy, D. (1907). St. Albertus Magnus. In The Catholic Encyclopedia. New York: Robert Appleton Company. Online: https://www.newadvent.org/cathen/01264a.htm

[2] Christiaan Huygens, 1690: aus einem "Prinzip" kann Wissen mit der fast der Sicherheit von einem Beweis (Proof) werden, "when things which have been demonstrated by the Principles that have been assumed correspond perfectly to the phenomena which experiment has brought under observation; especially when there are a great number of them, and further, principally, when one can imagine and foresee new phenomena which ought to follow from the hypotheses which one employs, and when one finds that therein the fact corresponds to our prevision." In: Christiaan Huygens: Traité de la lumière (1690). Dort im Vorwort. Translated by Silvanus P. Thompson. London: Macmillan, 1912.

[3] Alhazen, 1021: "We should distinguish the properties of particulars, and gather by induction what pertains to the eye when vision takes place and what is found in the manner of sensation to be uniform, unchanging, manifest, and not subject to doubt. After which we should ascend in our inquiry

[4] Viele Messungen können niemals ganz exakt sein, im Englischen Original: "To one who is behind the scenes, and knows that the most refined comparisons of masses, lengths, and angles, far surpassing in precision all other measurements, yet fall behind the accuracy of bank accounts, and that the ordinary determinations of physical constants, such as appear from month to month in the journals, are about on a par with an upholsterer's measurements of carpets and curtains, the idea of mathematical exactitude being demonstrated in the laboratory will appear simply ridiculous. There is a recognized method of estimating the probable magnitudes of errors in physics — the method of least squares. It is universally admitted that this method makes the errors smaller than they really are; yet even according to that theory an error indefinitely small is indefinitely improbable; so that any statement to the effect that a certain continuous quantity has a certain exact value, if well founded at all, must be founded on something other than observation." In: Charles Sanders Peirce: THE DOCTRINE OF NECESSITY EXAMINED. The Monist for January, 1891. Online: https://www.informationphilosopher.com/solutions/philosophers/peirce/doctrine_of_necessity.html

[5] Das mechanistische Weltbild muss große Bereiche offen lassen, im Englischen Original: "[…] observations which are generally adduced in favor of mechanical causation simply prove that there is an element of regularity in nature, and have no bearing whatever upon the question of whether such regularity is exact and universal or not. Nay, in regard to this exactitude, all observation is directly opposed to it; and the most that can be said is that a good deal of this observation can be explained away. Try to verify any law of nature, and you will find that the more precise your observations, the more certain they will be to show irregular departures from the law. We are accustomed to ascribe these, and I do not say wrongly, to errors of observation; yet we cannot usually account for such errors in any antecedently probable way." In: Charles Sanders Peirce: THE DOCTRINE OF NECESSITY EXAMINED. The Monist for January, 1891. Online: https://www.informationphilosopher.com/solutions/philosophers/peirce/doctrine_of_necessity.html