Calvin-Würfel

Physik

Grundidee｜ Video｜ Einführung｜ Version I: trivial｜ Version II: komplexer｜ Bewertung der Zufälligkeit｜ Shannon-Entropie｜ Komprimierbarkeit｜ Zur Namensgebung｜ Fußnoten

Grundidee

Die Bezeichnung „Calvin-Würfel“ steht hier für ein modellhaftes Experiment aus der Wahrscheinlichkeitstheorie. Von zwei Würfeln wird einer bei Bedarf so manipuliert, dass der „Gang der Welt“ eine bestimmte Richtung nimmt. Die übergeordnete Frage ist: kann man ein Modell konstruieren, in dem die gezielte, wiederholte aber nur lokale Manipulation eines Prozesses globale Ziele herbeiführt, die Manipulation aber statistisch nicht nachgewiesen werden kann?

Video

Die Summe der geworfenen Augen zweier Würfel soll immer geradzahlig sein. Passt das nach einem Wurf noch nicht, darf der Spieler solange mit dem rechten (gelben) Würfel weiter probieren, bis es passt. Der Gegenspieler, hier verkörpert durch den legendären Guy Fawkes, bekommt immer nur die letztendlich passende Augenzahl des gelben Würfels gezeigt. Kann er aus der Abfolge der für ihn sichtbaren Zahlen zuverlässig auf eine Manipulation des Geschehens durch den Spieler schließen?

Einführung

Die Werke des großen englischen Dichters William Shakespeare leben oft von scheinbaren Zufälligkeiten, die zunächst belanglos in sich erscheinen mögen. Es sind aber diese Zufälligkeiten, die der Handlung ihre oft dramatische Wendung geben. So erleiden Romeo und Julia den Tod, weil ein Brief nicht rechtzeitig zugestellt worden ist und Cäsar, weil er eine Warnung per Zufall nicht erhalten hatte.^[2]

ZITAT:

William Shakespeare: "Reckoning time, whose million'd accidents Creep in 'twixt vows, and change decrees of kings, Tarn sacred beauty, blunt the sharp'st intents, Divert strong minds to the course of altering things."^[3]

Auf Deutsch sagt Shakespeare hier sinngemäß, dass mit der Zeit viele Zufälligkeiten in unser Tun einsickern. Sie ändern die Pläne von Königen, trüben die größte Schönheit, stumpfen die schärfsten Absichten und zwingen selbst starke Geister hin zum vorgesehen Gang der Welt.

Poetisch

Shakespeares Bildnis von Zufall, Glück, dem Spiel der Göttin Fortuna dem Schicksal kann als poetisch oder religiös beschrieben werden. Die religiöse Sicht werden wir gleich durch den Reformator Johannes Calvin kennen lernen. Der scheinbare Zufall ist dabei immer an einem zukünftigen Ziel ausgerichtet. In der Philosophie spricht man von einer Causa finalis (Endzweck), einer teleologischen Weltsicht, einer göttlichen Vorhersehung, einem Occasionalismus und Ähnlichem. Wo der Gang der ganzen Menschheit so auf ein Ziel hin abrollt, spricht man auch von einem 👉 Weltprozess

Mathematisch

Dieser poetisch-religiösen Auffassung von Zufall steht der mathematische Begriff der Wahrscheinlichkeit und des Zufalls gegenüber. Der mathematische Begriff geht ganz im Gegenteil zur Poesie und Religion davon aus, dass der Zufall ganz ungerichtet ist, keinerlei "statistische Abhängigkeit" zu irgendwelchen Abläufen im Weltgeschehen hat. Der Zufall verfolgt keine Ziele, ist kein Teil eines Weltprozesses hin auf ein Endziel. Siehe auch 👉 Zufall

Lassen sich die poetische und die mathematische Auffassung von Zufall versöhnen? Gibt es eine Schnittmenge, bei denen die zwei Vorstellungen nicht zu unterscheiden sind? Könnte es sein, dass die vielen Zufälligkeiten in der Welt letzten Endes von uns verborgenen Logiken gesteuert sind, einem nur fast ganz ungerichteten Zufall^[4]? Diese Frage soll hier mit einem einfachen Würfelexperiment näher betrachtet werden.

VERMUTUNG:

Es könnte wiederholt stattfindende Ereignisse geben, die steuernd ins Weltgeschehen eingreifen, die aber bei einer isolierten Betrachtung ganz wie perfekter Zufall aussehen, obwohl sie manipuliert sind.

Problematisch und damit auch interessant wird das Thema dadurch, dass man für irgendeine gegebene Liste von Zahlen niemals mit hundertprozentiger Sicherheit entscheiden kann, ob sie zufällig erzeugt wurde oder nicht.^[5]^[6]

Version I: trivial

In jeder Spielrunde wird mit zwei identischen Würfeln geworfen. Jeder der Würfel hat drei Seiten die eine 0 zeigen und drei Seiten die eine 1 zeigen. Der eine Würfel wird willkürlich als linker, der andere als rechter Würfel bezeichnet. Der rechte, und nur der rechte Würfel darf und muss von einer Person die wir hier Demiurg nennen manipuliert werden. Der rechte Würfel ist bei Bedarf so zu manipulieren, dass beide Würfel immer dieselbe Zahl anzeigen. Hier einige Beispiele.

Geworfen: 0 0 -> keine Manipulation

Geworfen: 0 1 -> rechter Würfel wird auf 0 gedreht

Geworfen: 1 0 -> rechter Würfel wird auf 1 gedreht

Geworfen: 1 1 -> keine Manipulation

Es werden beliebig viele solche Spielrunden wiederholt. Eine zweite Person, der Beobachter, bekommt immer nur das Ergebnis des rechten Würfels gezeigt. Die Aufgabe des Beobachters ist es, eine Methode zu finden, mit der er entscheiden kann, ob der rechte Würfel über eine größere Anzahl von Spielrunden hinweg manipuliert wurde oder nicht. Der Beobachter muss also Kriterien dafür finden, ob oder inwiefern die Liste der geworfenen Zahlen von einer reinen Zufallsverteilung abweicht. Ein denkbarer Ansatz wäre ein Hypothesentest im Sinne der Stochastik.

VERMUTUNG:

Ein Würfel kann gezielt so manipuliert werden, dass er auf eine teleologische Weise einen makroskopischen Zustand herbeiführt. Die Manipulation ist aber prinzipiell nicht erkennbar, solange nur die zeitlich sich verändernden Zustände des manipulierten Würfels alleine betrachtet werden.

Tatsächlich ist das Experiment trivial in dem Sinne dass die Lösung eigentlich offensichtlich ist. Denn die letztendliche nach der gegebenenfalls nötigen Manipulation angezeigte Zahl des rechten Würfels ist eine eindeutige Funktion der geworfenen Zahl des ersten Würfels. Der zweite Würfel zeigt nach der Manipulation immer dasselbe an wie der erste Würfel. Und da die Anzeige des linken Würfels einer Zufallsverteilung entspricht, müssen auch die Ergebnisse des rechten Würfels eine solche Zufallsverteilung ergeben.

Version II: komplexer

In einer zweiten Version wird wieder mit zwei Würfeln geworfen. Dieses Mal sind es zwei faire Spielwürfel mit Ziffern von 1 bis 6 auf den Seiten. Wieder wirft ein Spieler zwei Würfel. Zuerst wird der rote Würfel auf der linken Tischseite geworfen, dann der gelbe Würfel auf der linken Tischseite. Die Summe beider Würfel soll nun immer eine gerade Zahl sein. Um das sicher zu stellen, darf der der rechte gelbe Würfel im Bedarfsfalle so oft erneut geworfen werden, bis die Summe der zwei Zahlen von linken und rechtem Würfel eine gerade Zahl ergibt. Wieder bekommt der Beobachter nur die Ergebnisse des letztendlich gewerteten Wurfes des rechten gelben Würfels gezeigt.

VERMUTUNG:

Die Zahlenfolge des rechten gelben Würfels ist vollkommen zufällig. In ihr kann kein Muster erkannt werden. Dennoch stellen die geworfenen Ziffern sicher, dass immer nur einer von mehreren makroskopischen Mustern realisiert wird, nämlich eine geradzahlige Summe von zwei geworfenen Würfeln.

Anders als bei der trivialen Version ist jetzt die Augenzahl des zweiten Würfels keine eindeutige Funktion der Augenzahl des ersten Würfels mehr. Man kann nun also sagen, dass die Augenzahl des interessierenden zweiten Würfels tatsächlich ganz zufällig entstanden ist.

Bewertung der Zufälligkeit

Das Experiment zum Calvin-Würfel liefert zunächst eine Liste von Ziffern. Es können nur die Ziffern von 1 bis 6 vorkommen. Die Frage ist, wie man die Zufälligkeit einer solchen Liste bewertet. Es ist ganz grundsätzlich nicht möglich mit Sicherheit zu erkennen, ob eine bestimmte Abfolge von Zahlen zufällig oder gesteuert entstanden ist.^[5]^[6] Wenn man zum Beispiel 10 mal mit einem fairen Spielwürfel würfelt, dann ist die Wahrscheinlichkeit für die zwei nun folgenden Zahlenketten absolut gleich (wenn auch sehr gering).

3-5-1-1-1-6-4-5-1-3

1-1-1-1-1-1-1-1-1-1

Die erste Zahlenfolge erscheint zunächst zufälliger zu sein. Wenn man aber mit Hilfe von einem Baumdiagramm oder der Bernoulli-Ketten-Formel nachrechnet, wird man für beide Zahlenfolgen die Wahrscheinlich von (1/6) hoch 10 erhalten. Dass man dennoch versucht zu einer zahlenmäßigen Bewertung der Zufälligkeit zu kommen hängt damit zusammen, dass man konkrete Ordnungsprinzipien verwenden kann, die einem menschlichen Gefühl von Zufälligkeit gut entsprechen. Bei der oberen Zahlenfolge erkennt man keine Ordnung, bei der unteren schon. Um die Zufälligkeit von Zahlenfolgen mit einer Zahl zu bewerten testet man sie also auf eine möglichst große Anzahl von denkbaren Ordnungsprinzipien. Man spricht dann von Test-Suites oder Test-Batterien. Damit erhält der Zufall eine zweifelsfrei subjektive Note, die man nicht ganz leugnen kann. Hier sollen zunächst nur zwei einfach anwendbare Test kurz vorgestellt werden.

Shannon-Entropie

Die sogenannte Shannon-Entropie prüft, wie gleichmäßig verteilt alle möglichen (erlaubten) Zeichen in einer konkret gegebenen Zeichenkette, einem sogenannten Wort, vorkommen. Je höher die Entropie, desto höher dann auch die zugewiesene Zufälligkeit.

Formel

H = −Σ pᵢ·log₂(pᵢ)

Mit

pᵢ = die Wahrscheinlichkeit der Ziffer i

log₂ = der Logarithmus zur Basis 2

Σ = das sogenannte 👉 Summenzeichen

3-5-1-1-1-6-4-5-1-3 -> Shannon-Entropie ≈ 2,65

1-1-1-1-1-1-1-1-1-1 -> Shannon-Entropie = 0,00

Die Shannon-Entropie kann also den Makel einer Berechnung der Wahrscheinlichkeit konkreter Zeichenketten beseitigen, indem die Häufigkeitsverteilung von Ziffern mit in die Betrachtung eingeht. Ihr Makel hingegen ist, dass sie nur eine Häufigkeitsverteilung betrachtet, nicht aber Muster in der Reihenfolge der Zeichen berücksichtigt. Siehe mehr unter 👉 Shannon-Entropie

Komprimierbarkeit

Muster in einer Reihenfolge von Zeichen suchen Komprimierungsverfahren aus der Informatik. Komprimieren heißt so viel wie zusammendrücken im Sinne von kleiner machen. In der Informatik steht das Wort beispielsweise dafür, dass man die Größe von Dateien, etwa angegeben in Bytes kleiner macht. Algorithmen zu Komprimierung von Dateien suchen Muster in den Zeichen der Datei, die man mit weniger Zeichen kodieren kann als es ursprünglich Zeichen waren. Für die Zeichenfolge 1-1-1-1-1-1-1-1-1-1 könnte man einfach in einer vereinbaren Kurzschreibweise angeben, dass man 10 mal die Ziffer 1 hatte, kurz zum Beispiel:10,1. Statt ursprünglich 10 Ziffern bräuchte die komprimierte Version nur 4 Zeichen (einschließlich des Kommas als Trennzeichen).

Um die Komprimierbarkeit der mit dem Versuch zum Calvin-Würfel erzeugten Ziffernfolgen zu bewerten könnte man die Ziffernfolgen als Dateien aufschreiben und von einer Software komprimieren lassen. Dabei muss jedoch ein praktisches Problem gehandhabt werden. Die komprimierte Datei enthält immer eine Mindestanzahl von Zeichen als sogenannten Header oder Trailer, ganz egal, wie viele Zeichen ursprünglich übergeben worden sind. Dieser Fehler wird aber umso kleiner, je größer die anfänglichen Dateien sind, denn dann geht auch die anteilige Größe der Header und Trailer (zum Beispiel etwa 18 Byte bei gzip) zurück. Das Verfahren wurde mit zwei exemplarischen Dateien durchgeführt.

Datei mit einer Million Zufallsziffern von 1 bis 6, komprimiert von 977 Kilobyte auf 363 Kilobyte^[7], Faktor 2,7

Datei mit einer Millionen Ziffern der Zahl Pi, komprimiert von 977 auf 460 Kilobyte, Faktor 2,1

Datei mit einer Million Einsen: komprimiert, von 977 auf 1012 Byte, Faktor: 965

Drei Dinge sind hier bemerkenswert. Erstens, hat der Algorithmus zur Komprimierung in einer pseudozufälligen Zahlenfolge immerhin noch so viele Muster gefunden, dass er die ursprüngliche Dateigröße auf fast ein Drittel eindampfen konnte. Zweitens hat der Algorithmus auch in der Ziffernfolge von Pi ausreichende Muster erkannt, um bis auf etwa die Hälfte der Dateigröße zu verdichten. Er hat aber wohl nicht erkannt, dass hier die Zahl gespeichert war. Sonst hätte er drastisch auf wenige Byte reduzieren können. Und drittens hat er eine Abfolge von nur Einsen auf fast ein Tausendstel der ursprünglichen Größe reduziert. Die Komprimierbarkeit entspricht damit recht gut dem, was wir als Menschen als mathematische Laien (erkennen nicht sofort die Ziffernfolge von Pi) als zufällig empfinden würden.

Zur Namensgebung

Das Experiment wird hier nach dem Schweizer Reformator Johannes Calvin (1509 bis 1564) benannt. Calvin hat mit klaren Sätzen dargelegt, dass er nichts in der Welt für zufällig hält. Vielmehr sieht er überall Gottes steuerndes Eingreifen am Werk. Und Gott verfolgt mit seinen Eingriffen immer auch ein für uns nicht erkennbares höheres Ziel.

ZITAT:

Calvin, 1560: "Der Zufall, wie man ihn gewöhnlich nennt, wird möglicherweise durch eine verborgene Lenkung geführt; und wir nennen nur das Zufall, was geschieht, ohne dass uns seine Ursache und sein Grund erscheinen." […] "Ich sage also: Obwohl alle Dinge durch den Ratschluss Gottes gelenkt werden, erscheinen sie uns dennoch als zufällig. Nicht etwa, dass wir meinen, der Zufall herrsche über die Menschen und drehe alles willkürlich nach oben und unten – denn diese Vorstellung muss einem christlichen Herzen fernliegen –, sondern weil bei den Dingen, die geschehen, Ordnung, Grund, Ziel und Notwendigkeit im Ratschluss Gottes meist verborgen sind und vom menschlichen Urteil nicht erfasst werden können. Die Dinge, von denen wir gewiss wissen, dass sie aus dem Willen Gottes hervorgehen, erscheinen uns daher gleichsam zufällig; denn wenn man sie ihrer Natur nach betrachtet oder nach unserem Urteil und unserer Erkenntnis beurteilt, zeigen sie keine andere Gestalt."^[1]

Was bei Calvin der Eingriff Gottes ins Weltgeschehen ist, ist im Würfelversuch die Manipulation des rechten Würfels. Und was bei Calvin Gottes "Ordnung", "Grund" oder "Ziel" heißt, ist im Versuch die Gleichheit der beiden Zahlen, die spätestens nach der Manipulation sich eingestellt hat.

Fußnoten

[1] Calvin im französischen Original von 1560: "La fortune, qu’on appelle communement, est possible conduite par un gouvernement caché: et appelons seulement Fortune, ce qui se fait sans que la cause et la raison nous en apparoisse." Und: "Je di donques, combien que toutes choses soyent conduites par le conseil de Dieu, toutesfois qu’elles nous sont fortuites. Non pas que nous reputions fortune dominer sur les hommes, pour tourner haut et bas toutes choses temerairement (car ceste resverie doit estre loin d’un cœur Chrestien): mais pource que des choses qui adviennent, l’ordre, la raison, la fin et necessité est le plus souvent cachée au conseil de Dieu, et ne peut estre comprinse par l’opinion humaine, les choses que nous savons certainement provenir de la volonté de Dieu, nous sont quasi fortuites: car elles ne monstrent point autre apparence, quand on les considere en leur nature, ou quand elles sont estimées selon nostre jugement et cognoissance." In: Calvin: Institution de la religion chrestienne (1560). Dort im Kapitel 16. Calvin hatte die französische Übersetzung seiner lateinischen Urschrift selbst besorgt.

[2] Einige Beispiele zum Einfluss des Zufälligen in den Stücken von Shakespeare. Richards II. Untergang beginnt mit einem momentanen Impuls, Desdemonas Tod hängt am zufälligen Fallen eines Taschentuchs, Romeo und Julias Tod am Scheitern einer Briefübermittlung, Caesars Tod daran, dass er die Warnung des Artemidorus nicht rechtzeitig liest, und Wolseys Sturz an einem kleinen Versehen. Sinngemäß angeführt in: Simon Augustine Blackmore: The Riddles of Hamlet. Boston: Stratford & company, 1917. Shakespeare Online. 2 Aug. 2011. Online: http://www.shakespeare-online.com/plays/hamlet/divineprovidence.html

[3] William Shakespeare: Sonnet 115. Dass Shakespeares Werke ihre Dynamik oft gerade dadurch erhalten, dass kleine zufällige Geschehnisse den Gang der großen Dinge beeinflussen, und dass die Werke damit auch Shakespeares religiöse Anerkennung einer göttlichen Fügung (divine providence) zum Ausdruck bringen, ist das zentrale Argument in: Simon Augustine Blackmore: The Riddles of Hamlet. Boston: Stratford & company, 1917. Shakespeare Online. 2 Aug. 2011. Online: http://www.shakespeare-online.com/plays/hamlet/divineprovidence.html

[4] Der amerikanische Philosoph Charles Sanders Peirce argumentierte, dass der scheinbare Zufall doch ein Mindestmaß an Ordnung hat (spontaneity which is to some degree regular). So kann der Zufall dem Weltgeschehen durch kausal unabhängige (spontane) Eingriffe eine Richtung geben. Hegels Philosophie, von seinen Nachfolgern als Weltprozess etikettiert, fußt auf einem solchen Gedanken: "[…] a spontaneity which develops itself in a certain and not in a chance way, by an objective logic like that of Hegel." In: Charles Sanders Peirce: THE DOCTRINE OF NECESSITY EXAMINED. THE MECHANICAL PHILOSOPHY. The Monist for January, 1891. Online: https://www.informationphilosopher.com/solutions/philosophers/peirce/doctrine_of_necessity.html

[5] Echter Zufall kann anhand einer reinen Liste von Zahlen nicht sicher erkannt werden: "it is impossible to tell with certainty from a given sequence whether it was generated by a random or a deterministic process. An apparently systematic sequence such as 1-2-1-2-1-2-1-2 has the same probability of occurrence under a random process as the less systematic sequence 1-1-2-2-2-1-1-2" In: Angelike T, Musch J. A comparative evaluation of measures to assess randomness in human-generated sequences. Behav Res Methods. 2024 Oct;56(7):7831-7848. doi: 10.3758/s13428-024-02456-7. Epub 2024 Jul 1. PMID: 38954396; PMCID: PMC11362514.

[6] Echter Zufall kann an sich nicht sicher erkannt werden: "Random number generators (RNGs) are notoriously challenging to build and test, especially for cryptographic applications. While statistical tests cannot definitively guarantee an RNG’s output quality, they are a powerful verification tool and the only universally applicable testing method." In: Foreman, Cameron, Richie Yeung, and Florian J. Curchod. 2024. "Statistical Testing of Random Number Generators and Their Improvement Using Randomness Extraction" Entropy 26, no. 12: 1053. Online: https://doi.org/10.3390/e26121053

[7] Die Zufallsfolge wurde mit dem Befehl RANDOM aus der Shell-Sprace Bash erzeugt. Komprimiert wurde mit dem Program gzip auf Bash.