A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 9 Ω
Das Banner der Rhetos-Website: zwei griechische Denker betrachten ein physikalisches Universum um sie herum.

Pythagoreischer Flaschenzug (zweidimensionale Funktion)

Analysis

Basiswissen


Mit einer sehr einfachen Mechanik kann man anschaulich zeigen, was eine zweidimensionale Funktion und die Schreibweise ℝ² ↦ ℝ bedeuten. Für die hier beispielhaft zusammengestellten Zahlen kann man dann versuchen, eine passende Funktionsgleichung zu finden.

Der Aufbau des Versuchs


Die Koordinatensysteme


An einer Tafel ist ein zweidimensionales xy-Koordinatensystem gezeichnet. Die x-Achse kann zum Beispiel von -4 bis +10, die y-Achse von -12 bis +10. Bei Position (-4|11) in diesem Koordinatensystem ist ein Magnethaken an der Tafel platziert. Jeweils 5 Zentimetern an der Tafel entspricht eine 1 in der Zählung.

Ein zweites, eindimensionales Koordinatensystem wird als senkrechte z-Achse gezeichnet. Der Ursprung dieser z-Achse liegt im Punkt (-5|-8) des zweidimensionalen xy-Koordinatensystem. Die z-Achse schneidet die y-Achse des xy-Koordinatensystems an der Stelle x = -5.

Die Seilführung


Ein erster Magnethaken ist an der Tafel bei Position (-4|11) im zweidimensionalen Koordinatensystem fest gemacht. Ein grob gschätzt etwa drei Meter langes Seil ist mit einem seiner zwei Enden mit einem Knoten an dem Haken festgemacht. Im Sinne eines Flaschenzuges hängt das Seil dann nach unten, wo ein frei entlang des Seiles bewegliches Gewicht angehängt ist. Vom Gewicht aus ist das Seil dann wieder nach oben geführt, wo es am Haken umgelenkt wird. An dem noch freien Ende ist eine kleine Schlaufe, womit es dann an einem zweiten Magnethaken festgemacht wird. Dieser zweite Haken kann dann an beliebigen Stellen im xy-Koordinatensystem platziert werden.

Die Durchführung des Versuchs


Man platziert nun den freien Haken des Seils nacheinander an verschiedenen Positionen innerhalb des xy-Koordinatensystems. Für jede dieser Position misst man den z-Wert im eindimensionalen System: abgelesen wird der z-Wert, der der Höhe des unteren Ende des Gewichts am Faden entspricht. Jedem Punkt im xy-Koordinatensystem kann dann ein eindeutiger z-Wert zugeordnet werden.



Das Video zeigt den Aufbau und die Durchführung des Versuchs. Alle Messwerte sind auch hier auf dieser Seite angegeben.

Beispielhafte Messwerte


Die folgende Tabelle gibt grob nach Augenmass erstellte Messwerte wieder. Wenn man mit diesen Werten eine Funktionsgleichung erstellt, so genügt es, wenn die Funktionswerte um vielleicht 0,3 von den Werten der Tabelle abweichen.


Mathematische Betrachtungen


Fragestellung 1: z=f(x;y)?


Man kann nun mit den Messwerten versuchen eine Funktionsgleichung z=f(x;y) zu finden: welche Rechnung könnte man mit dem x- und y-Wert eines bestimmten Punktes durchführen, um damit immer einigermaßen genau den dazugehörigen z-Wert zu erhalten?[1] Siehe auch zweidimensionale Funktion ↗

Fragestellung 2: 3D-Graph


Man kann den Graphen der gesuchten Funktion in einen dreidimensionalen xyz-Koordinatensystem darstellen. Es entsteht dann eine irgendwie gewölbte oder geknickte Fläche. Wie sieht der Graph für den pythagoreischen Aufzug aus? Siehe dazu auch 3D-Graph ↗

Fragestellung 3: partielle Ableitung


Die partielle Ableitung gibt an, wie stark sich der abhängige Funktionswert z im Verhältnis zu einer Änderung des Wertes einer der unabhängigen Variablen ändert. Für den pythagoreischen Flaschenzug kann man fragen: wie viel mal so stark ändert sich z wie x oder, alternativ, wie viel mal so stark ändert sich z wie y.

∂z/∂x: um sich die partielle Ableitung nach x anschaulich vorzustellen, ändert man mit dem Magnethaken den Wert von x um kleine Beträge. Dabei muss aber der y-Wert konstant gehalten werden. Praktisch heißt das, dass man den Magnethaken nur horizontal, parallel zur x-Achse, also nach links oder rechts nicht aber nach oben oder unten bewegen darf. Für jede x-Änderung bestimmt man dann die dazugehörige z-Änderung. Das Verhältnis der z-Änderung zur (kleinen) x-Änderung ist dann die partielle Ableitung ∂z/∂x.

∂z/∂y: um sich die partielle Ableitung nach y anschaulich vorzustellen, ändert man mit dem Magnethaken den Wert von y um kleine Beträge. Dabei muss aber der x-Wert konstant gehalten werden. Praktisch heißt das, dass man den Magnethaken nur vertikal, parallel zur y-Achse, also nach oben oder unten nicht aber nach links oder rechts bewegen darf. Für jede y-Änderung bestimmt man dann die dazugehörige z-Änderung. Das Verhältnis der z-Änderung zur (kleinen) y-Änderung ist dann die partielle Ableitung ∂z/∂y.

Die partielle Ableitung gehört in das Gebiet der Höheren Mathematik. Sie wird meist erst an Hochschulen vermittelt. Sie spielt zum Beispiel eine wichtige Rolle in der Thermodynamik und den Wirtschaftswissenschaften. Siehem mehr unter partielle Ableitung ↗

Fragestellung 4: totale Ableitung


Bei der totalen Ableitung geht es um die größtmögliche Steigung an einem Punkt auf dem Graphen. Die Frage ist: in welche Richtung einer gemeinsamen Änderung von x- und y-Werten ändert sich der z-Wert am stärksten?

Um ein Gefühl dafür zu bekommen, was die totale Ableitung meinen kann, setzt man den Magnethaken an irgendeine Position im xy-Koordinatensystem. Von dort aus sucht man dann die Richtung, in die man den Magnethaken eine kurze Strecke verschieben kann, um die maximal größte Veränderung des z-Wertes zu erzielen. Die totale Ableitung als mathematische Funktion gibt diese Richtung mit Hilfe von Vektoren an. Siehe mehr unter totale Ableitung ↗

Fragestellung 5: Kurvenschar


Wie ändern sich die Funktionen f(x) und f'(x) sowie der Graph und die partielle und totale Ableitung, wenn man die Länge s des verwendeten Seils verändert? Wenn man die Seillänge parametrisiert, kann man eine eine Kurvenschar, auch Funktionen oder Funktionsschar z=fₛ(x;y) erstellen. Siehe auch Kurvenschar ↗

Fußnoten