Zweidimensionale Funktion
z=f(x;y)
Basiswissen
Die Dimension einer Funktion entspricht der Anzahl der unahbängigen Variablen: zweidimensionale Funktionen, auch als Funktionen mit zwei veränderlichen[2], mit zwei Variablen[3] oder als bivariate Funktionen bezeichnet[3], haben dementsprechend genau zwei unabhängige Variablen, oft als x und y bezeichnet. Die dritte Variable, oft das z, ist von x und y abhängig und heißt auch Funktionsargument. Das ist hier näher erläutert.
Definition
Als zweidimensionale Funktion der Analysis bezeichnet man eine Funktion mit genau zwei unabhängigen Variablen[1]. Eine dritte Variable darf vorkommen, oft das z. Diese dritte Variable ist dann aber abhängig von der zwei ersten und ist der Funtkionswert. Man schreibt zum Beispiel: z=f(x;y). Das Wertepaar aus x und y bezeichnet man auch als Tupel.[4] Als Trennungszeichen wird häufig ein Semikolon (;) verwendet.[1][2]
ℝ² ↦ ℝ
Die Schreibweise ℝ² ↦ ℝ spricht man: R-zwei wird abgebildet auf R-eins. Damit ist gemeint, dass die Eingabe, also das Funktionsargument aus zwei reellen Zahlen besteht, der Funktionswert aber aus nur einer reellen Zahl. Wenn man zum Beispiel jedem Paar aus einer geographischen Länge und einer geographischen Breite (insgesamt zwei reelle Zahlen) genau einen Höhenwert (z. B. in Meter über NN) zuordnet (eine reelle Zahl), dann hat man eine genau solche Zuordnung der Art ℝ² ↦ ℝ.
Graph
Der Graph einer zweidimensionalen Funktion der Analysis kann zum Beispiel in einem 3D-Koordinatensystem, oft mit den Achsen x, y- und z, dargestellt werden. Jedes Paar von x- und y-Werten legt einen Punkt auf der "Bodenfläche" des Graphen fest. Der z-Wert gibt dann die Höhe des Punktes über (unter unter) dieser xy-Ebene an. Die Menge aller so gezeichneten Punkte hat dann oft die Form einer Fläche, die beliebig gewölbt und geformt sein kann; es dürfen aber nie zwei Punkte senkrecht übereinander liegen, es darf also keine zwei verschiedenen Punkte mit denselben x- und gleichzeitig auch y-Koordinaten geben. Siehe dazu auch Funktion ↗
Beispiele
- Hügelförmiger Graph: f(x;y) = 20-(x²+y²)
- Schüsselförmiger Graph: f(x;y) = x²+y²
- f(x;y) = cos(x+y)
- f(x;y) = x+y
Partiell ableiten
Zweidimensionale Funktionen haben als Graphen eine Fläche. Die partielle Ableitung an einem bestimmten Punkt auf der Fläche gibt eine Zahl, die wahlweise für die Steigung in x- oder in y-richtung steht. Lies mehr unter partielle Ableitung ↗
Total Ableiten
Zweidimensionale Funktionen haben als Graphen eine Fläche. Die totale Ableitung an einem bestimmten Punkt auf der Fläche gibt einen Vektor, der in Richtung der größten Steigung und dessen Länge ein Mass für die Änderungsrate ist. Lies mehr unter totale Ableitung ↗
Hoch- und Tiefpunkte
Zweidimensionale Funktionen haben oft (nicht immer) Hoch- oder Tiefpunkte. Man fasst sie - und nur diese zwei Arten - zu den Extrempunkten zusammen. Lies mehr unter zweidimensionale Extrempunkte ↗
Fußnoten
- [1] Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium. Band 3. 14. Auflage, 2019. ISBN: 978-3-658-11923-2. Verlag Springer Vieweg. Seite 404 bis 407. [am Beispiel "zweidimensionaler Wahrscheinlichkeitssverteilung"]
- [2] Zweidimensionale Funktionen sind ein Sonderfall von "Funktionen mehrerer unabhängiger Veränderlicher". Veränderliche heißt dabei so viel wie Variable. Als Beispiel dient die Abhängigkeit der Stromstärke I von der Spannung U und dem ohmschen Widerstand R. Als Funktion mehrerer unabhängiger Veränderlicher geschrieben als "I = f(U;R)". Wieder ist das Semikolon das Trennungszeichen. In: Lehr- und Übungsbuch Mathematik. Band 1. Verlag Harri Deutsch. Thun und Frankfurt am Main. 20. Auflage. 1989. ISBN: 3-87444014. Dort das Kapitel "27 Funktionenen mehrerer unabhängiger Veränderlicher". Siehe auch mehrdimensionale Funktionen ↗
- [3] Eine "Funktion zweier Variabler" ist eine Funktion mit "zweidimensionalem Input", seit "neuerer Zeit" bezeichne man eine solche Funktion auch als "bivariat". In: Guido Walz: Spektrum Lexikon der Mathematik. Band 2: Eig bis Inn; 2001; ISBN: 3-8274-0437-7. Dort der Artikel zu "Funktion zweier Variablen". Seite 201.
- [4] Ein Tupel ist eine endliche Menge bei der die Reihenfolge der Elemente wichtig ist. A-B-C wäre ein anderes Tupel als C-B-A. Siehe mehr unter Tupel ↗