Basiswissen

∂f/∂x und ∂z/∂x: der Graph einer Funktion mit zwei unabhängigen Variablen kann oft als Ebene im dreidimensionalen Raum dargestellt werden. Die partiellen Ableitungen ∂f/∂x und ∂z/∂x geben dann die Steigung in die Richtung parallel zu je einer der Koordinatenachsen der jeweils im Nenner angegebenen unabhängigen Variablen x oder y an. Das ist hier kurz vorgestellt.

Wie leitet man partiell ab?

Partiell ableiten meint: nur nach einer Variablen ableiten.

Die andere Variable behandelt man dabei wie eine konstante Zahl.

Die partielle Ableitung von f(x;y)=x²+y³ nach x ist: 2x

Die partielle Ableitung von f(x;y)=x²+y³ nach y ist: 3y²

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Einige Zahlenbeispiele zum partiellen ableiten

f(x) = x² partiell abgeleitet nach x gibt: 2x

f(x) = x² partiell abgeleitet nach y gibt: 0

f(x) = x² partiell abgeleitet nach z gibt: 0

f(x) = y² partiell abgeleitet nach x gibt: 0

f(x) = y² partiell abgeleitet nach y gibt: 2y

f(x) = y² partiell abgeleitet nach z gibt: 0

f(x) = z² partiell abgeleitet nach x gibt: 0

f(x) = z² partiell abgeleitet nach y gibt: 0

f(x) = z² partiell abgeleitet nach z gibt: 2z

f(x) = xyz partiell abgeleitet nach x gibt: yz

f(x) = xyz partiell abgeleitet nach y gibt: xz

f(x) = xyz partiell abgeleitet nach z gibt: xy

f(x) = 4x²y¹z³ partiell nach x abgleitetet gibt: 8x¹z³

f(x) = 4x²y¹z³ partiell nach y abgleitetet gibt: 4x²z³

f(x) = 4x²y¹z³ partiell nach z abgleitetet gibt: 12x²y¹z²

f(x;y) anschaulich als 3D-Graph

Die Idee einer partiellen Ableitung gehört zu Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen. Die Funktion f(x;y)=x²+y³ ist ein typisches Beispiel. Der Graph dazu wird veranschaulicht in einem 3D-Koordinatensystem. Die x- und y-Achsen liegen dabei gedacht auf dem Boden oder auf einer Tischfläche. Eine dritte Achse, die z-Achse ragt den senkrecht von der Tischebene nach oben. Das x und y steht dann für die Zahlen, die man einsetzt und der z-Wert für den Funktionswert. Rechnet man für unterschiedliche Kombinationen von x- und y-Werten den daraus resultierenden z-Wert aus, kann man den xyz-Punkt im Koordinatensystem eintragen. Macht man das für alle möglichen xy-Kombinationen, dann erhält man eine oft gewellte Fläche als Graphen. Lies mehr zu diesem gedanlichen Hintergrund unter zweidimensionale Funktion ↗

Die partielle Ableitung: entweder in Richtung x oder y

Hat man eine zweidimensionale Funktion f(x;y) als 3D-Graph veranschaulicht, kann man sich gedanklich auf einen beliebigen Punkt dieses Graphen begeben. Man befindet sich dann zum Beispiel irgendwo auf einer gewellten Fläche. Geht man von diesem Punkt aus gedanklich parallel zur x-Achse auf der Fläche entlang, wird man eine Steigung - bergauf, bergab oder horizontal - feststellen können. Diese Steigung entlang der Fläche in x-Richtung ist die partielle Ableitung ∂f/∂x der Funktion f(x;y). Das kleine ∂ ist dabei das sogenannte del-Zeichen. Analog deutet man die partielle Ableitung ∂f/∂y wenn man von dem Startpunkt auf der Fläche parallel zur y-Achse geht.

Schreibweisen

Man hat eine Funktion f mit zwei unabhängigen Variablen x und y. Der Funktionswert kann wahlweise geschrieben werden als f(x;y) oder z. Die Schreibweisen für die partielle Ableitung für x und y sind völlig analog. Hier stehen untereinander synonyme (gleichbedeutende) Beispiele für die partielle Ableitung nach x:

fₓ(x;y)

zₓ(x;y)

∂f/∂x^[1]

∂z/∂x^[3]

Diese Quotienten bedeuten alle dasselbe - die partielle Ableitung nach x einer zweidimensionalen Funktion. Die Quotienten bezeichnet man als partielle Differentialquotienten erster Ordnung. Die Schreib- und Sprechweise gilt analog auch für y. Die partielle Ableitung, auch partieller Differentialquotient ist etwas anderes als ein partielles Differential [∂f] ↗

Das Zeichen ∂

Die partielle Ableitung wird überlicherweis mit dem ∂-Zeichen geschrieben^[1].

Das Zeichen ∂ wird ausgesprochen aus "del".

Es ist das kleine kyrillische d^[2].

∂x spricht man als "del x".

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Fußnoten

[1] Partielle Ableitung. In: Guido Walz: Spektrum Lexikon der Mathematik. Band 4: Moo bis Sch; 2002; ISBN: 3-8274-0436-3. Dort die Seite 152.

[2] del. In: https://de.wiktionary.org/ Abgerufen am 1. Mai 2023.

[3] Lehr- und Übungsbuch Mathematik. Band III. Verlag Harri Deutsch. 18. Auflage. 1984. ISBN: 3 87144403 0. Dort die Seite 334.