Basiswissen

Als Massenpunkt^[1]^[10], Massepunkt^[2] oder auch Punktmasse^[3] bezeichnet man einen Körper mit Masse aber ohne jede Ausdehnung. Der Massenpunkt ist ein sehr stark idealisiertes Modell von Körpern: der Massenpunkt hat zwar Masse, also immer einen Kilogrammwert aber er hat weder Länge, Breite, Höhe oder Volumen. Man sagt auch, er sei ausdehnungslos.

Definitionen

Der Physiker Gustav Robert Kirchhoff definiert im Jahr 1876 den Massenpunkt oder materiellen Punkt, wie folgt als eine praktische Annahme:

ZITAT:

"Wir werden — mit dem Einfacheren beginnend — zunächst den Fall betrachten, dass alle Dimensionen des Körpers vnendlich klein sind; einen solchen Körper nennt man einen materiellen Punkt, Auch ein materieller Punkt wird im Allgemeinen bei seiner Bewegung sich drehen und seine Gestalt ändern; dabei wird aber, eben weil er unendlich klein ist, sein Ort in jedem Augenblicke durch einen geometrischen Punkt angegeben werden können. Wir werden uns darauf beschränken die Aenderungen seines Ortes zu untersuchen und nicht in Betracht ziehen, wie er sich dreht und seine Gestalt ändert."^[1]

Und zur Mathematisierung:

ZITAT:

"Wir werden x, y, z die Coordinaten des materiellen Punktes, um dessen Bewegung es sich handelt, in Bezug auf ein beliebiges, festes, rechtwinkliges Coordinatensystem zur Zeit t nennen. Dann sind x, y, z Functionen von t, und zwar Functionen, die einwerthig und stetig sind für das ganze Intervall von t, welches der Dauer der Bewegung entspricht. Werden sie angegeben, so wird dadurch die Bewegung, so weit wir sie in Betracht ziehen wollen, vollständig beschrieben."^[1]

Praktischer Nutzen

Es gibt mindestens zwei handwerkliche Vorteile, sich die Masse eines Körpers auf einen mathematischen, ausdehnungslosen Punkt vereinigt vorzustellen: a) die Anziehungskraft des Körpers auf andere Körper ist deutlich leichter zu berechnen, wenn man nur seinen Schwerpunkt betrachtet und b) die Bahn eines Körpers durch den Raum, seine Trajektorie, ist einfacher zu betrachten, wenn man sich den Körper als Punkt denkt.

a) vereinfachte Gravitation

Isaac Newton stellte den Gedanken in die Welt, dass sich Masse gegenseitig anzieht. Zwei kleine Staubkörner im Weltall, ganz gleich wie weit sie voneinander entfernt sind, würde sich Newton zufolge gegenseitig mit einer Kraft anziehen. Diese Kraft nennt man die Gravitationskraft. Wie stark die Kraft ist, hängt nur von der Menge Masse, der "Kilogrammzahl" und dem Abstand der zwei Massen.

F = G·m₁·m₂:r²

Dabei ist G die sogenannte Gravitationskonstante mit einem Wert von 0,000000000066743 m³/(kg·s²), m₁ und m₂ steht für die Massen, etwa in Kilogramm, der zwei betrachteten Körper. Und r² ist der Abstand r der Schwerpunkte der zwei Körper mit sich selbst malgenommen.

Problem

Zunächst wollen wir sehen, an welcher Stelle es mathematisch kompliziert wird. Wir stellen uns dazu zwei fiktive Himmelskörper vor: der eine besteht aus vielleicht 1000 kleinen Staubkörner, die zusammen zu einer Kugel verbacken sind (wodurch auch immer). Der andere Himmelskörper sei einfach ein einzelnes Staubkorn. Um nun die Anziehungskraft zwischen den beiden Himmelskörpern zu berechnen, müsste man eigentlich die Anziehungskraft des einzelnen Staubkorns mit jedem der 1000 Staubkörner der größeren Himmelskörpers berechnen. Auch wenn wir die Masse eines jeden einzelnen Staubkornes als gleich groß annehmen, so ändert sich in vielen Fällen doch der Abstand. Man müsste rund 1000 mal einzeln die obere Formel benutzen, am besten noch in einer Zeit, in der es keinerlei Rechenhilfsmittel wie Taschenrechner oder gar Computer gab.

Lösung

Newton hat das Problem zunächst für Kugeln vereinfacht. Die Kugeln dachte er sich aus konzentrischen Schalen. Dabei entwickelte Newton an genau dieser Stelle das, was man heute die Infinitismalrechnung nennt.^[6] Innerhalb jeder Schale war der Stoff dann überall gleich dicht. Diese Vorstellung kommt recht gut dem tatsächlichen Schalenaufbau von vielen Planeten und Sonnen sehr nahe.^[7] Für solche Kugeln stellt Newton fest:

ZITAT:

"113. Lehrsatz. Unter denselben Bedingungen wird ein, ausserhalb der sphärischen Oberfläche befindlicher, kleiner Körper durch eine Kraft nach dem Mittelpunkte der Kugel hingezogen, welche Kraft sich umgekehrt wie das Quadrat des Abstandes des kleinen Körpers vom Mittelpunkte verhält."^[8]

Oder auch:

ZITAT:

"§. 119. Lehrsatz. Kugeln sind in der Richtung vom Mittelpunkt gegen den Umfang (was Dichtigkeit und Anziehungskraft der Materie betrifft) beliebig unähnlich, hingegen in demselben Abstände vom Mittelpunkte überall ähnlich, und die anziehende Kraft eines jeden Punktes nimmt im doppelten Verhältniss des Abstandes vom angezogenen Körper ab. Die ganze Kraft, womit eine derartige Kugel eine andere derselben Art anzieht, verhält sich alsdann umgekehrt wie das Quadrat der Entfernung beider Mittelpunkte von einander."

Im zweiten Zitat nimmt Newton noch auf, dass die Schalen der Kugel in sich gleich aufgebaut sind: die Kugelmaterie ist in allen Punkten, die gleich weit von der Mitte der Kugel entfernt sind, gleich.

In einer weiteren Überlegung verallgemeinert Newton diesen Gedanken noch weiter zu beliebig geformten Körpern. Um zu berechnen, wie diese sich gegenseitig anziehen, genügt es, sich die Masse der Körper in ihren jeweiligen Schwerpunkten vereinigt vorzustellen:

ZITAT:

"130. Lehrsatz. Bestehen mehrere Körper aus gleichen Theilchen, und verhalten sich die Kräfte der letztern wie die Abstände der angezogenen Punkte von den einzelnen Theilen; so ist die aus allen zusammengesetzte Kraft, wodurch ein beliebiger Körper angezogen wird, nach dem gemeinschaftlichen Schwerpunkte der Theilchen gerichtet und dieselbe, als wenn jene anziehenden Theilchen, unter Beibehaltung ihres gemeinschaftlichen Schwerpunktes, sich vereinigten und eine Kugel bildeten."^[9]

Ein System aus verschiedenen Massen verhält sich nach außen mechanisch also so, als sei die gesamte Masse im Mittelpunkt des Systems vereinigt. Diesen Lehrsatz bezeichnet man heute als Schwerpunktsatz ↗

Es ist nicht ganz einfach, sich an die Sprache und Denkweise Newtons zu gewöhnen. Selbst in der recht "modernen" deutschen Übersetzung von 1872 ist es ein schwieriger Stoff. Wer aber Freude daran hat, Gedankengänge lückenlos und Schritt für Schritt in ihrer Entwicklung zu erkennen, für den lohnt sich die Mühe, sich an die alte Sprache zu gewöhnen. Und man wird auch erkennen, dass Newton seine Gedanken nicht als isoliertes Genie entwickelt hat.^[10] Vielmehr entwickeln sich die Gedanken nachvollziehbar über Jahrhunderte bis Jahrtausende. Im Rahmen der Himmelsmechanik ist das unter anderem gut aufbereitet für die langsame Entstehung des Begriffes vom Impuls. Siehe dazu den Artikel zur Impetustheorie ↗

b) vereinfachte Trajektorie

Wer schon einmal für einen Hund einen Stock durch die Luft geworfen hat, sodass der Hund den Stock wiederbringt (apportiert), kennt das Phänomen: der Stock dreht sich bei seinem Flug auf komplizierte Weise um sich selbst. Wer dann fragt, wo der Stock denn etwa 2 oder 3 Sekunden nach dem Abwurf ganz exakt sei hat ein Problem. Man müsste, um die Position im Raum genau festzulegen, mehrere Positionen des Stockes angeben.

ZITAT:

"Die Bewegung eines Körpers, d. h. eines Theiles der Materie, ist, genau ins Auge gefasst, immer eine sehr complicirte Erscheinung. Ein fester Stab, der fortgeschleudert ist, dreht sich während seines Fortschreitens bald in diesem, bald in jenem Sinne".^[5]

Noch komplizierter wird es bei Dingen, die während der Bewegung ihre Form verändern. Man stelle sich einen mit Wasser gefüllten Luftballon vor, der beim Abwurf auch noch eine Drehbewegung um sich selbst mitbekommen hat:

ZITAT:

"eine Flüssigkeit, die aus einem Gefässe ausgegossen ist, ändert, während sie fällt, in der verwickeltsten Art ihre Gestalt. Solche Drehungen und Gestaltsänderungen kommen in weniger auffallender Weise bei jeder Bewegung eines Körpers vor."^[5]

Das vielleicht krasseste Beispiel ist eine explodierte Feuerwerksrakete. Sieht man vom bremsenden Einfluss der Luft einmal ab, so kann man sich leicht die rechnerischen Probleme vorstellen, wenn man nach der Position der einzelnen Teilchen der Rakete nach der Explosion fragt. Hier ist es überhaupt schwer anzugeben, was man mit "der Feuerwerksrakete" nach der Explosion meinen soll. Das wird im nächsten Abschnitt noch einmal betrachtet (und beantwortet).

Oft aber interessiert nicht, wo sich die einzelnen Teile eines Körpers gerade im Raum befinden. Es genügt, wenn man sich einen einzigen Stellvertreterpunkt für den ganzen Körper vorstellt. Es gibt viele Fragestellungen, wo es völlig ausreicht, den Weg dieses Stellvertreterpunktes, des Massenpunktes über die Zeit und durch den Raum zu kennen.

Ein einfaches Beispiel bietet hier ein Zug. Wenn man fragt, wo der Zug etwa zur Uhrzeit 10.21 ist, dann müsste man eigentlich zurückfragen, ob man die Lok oder welchen Waggon man meint. Denn jeder Teil des Zuges ist ja zu einer bestimmten Uhrzeit an einer anderen Stelle. Interessant wird das zum Beispiel am Bahnsteig bei einem ICE 3, der über 200 Meter lang sein kann. Muss man an einem Kopfbahnhof schnell umsteigen, kann es einen großen Unterschied machen, ob man ganz hinten oder ganz vorne im Zug ist. Wenn man aber nur verfolgen möchte, wie sich der Zug über die Zeit hinweg bewegt, kann man ihn sich getrost als Massenpunkt vorstellen, zum Beispiel am vorderen Ende der Lok oder in der Mitte des Zuges. Siehe mehr zu diesem Gedanken unter Trajektorie (Physik) ↗

Gibt es echte Massenpunkte?

Das ist unklar. Von einem Elektron weiß man, dass es Masse hat. Man weiß aber nicht, ob es eine Ausdehnung hat. Von einem schwarzen Loch nimmt man an, dass es keine Ausdehnung hat. Das aber ist unsicher. Für ähnliche Beispiele aus der Physik, Mathematik und Philosophie siehe auch ausdehnungslos ↗

Schwarze Löcher als Massenpunkte

Ein Massenpunkt, der wirklich als Materie existiert, wäre eine Masse, die keine Ausdehnung hat. Sie hätte die Dimension 0. Theoretisch denkbar ist, dass ein schwarzes Loch ein solcher Massenpunkt ist. In der Mathematik bezeichnet man sie als sogenannte Singularität. Siehe auch Schwarzes Loch ↗

Elektronen als Massenpunkte

Experimente weisen darauf hin, dass Elektronen einen maximalen Durchmesser haben, also eine größte mögliche Größe. Es gibt aber keine Experimente die eine Mindestgröße von Elektronen erzwingen. Es wird diskutiert, dass Elektronen möglicherweise keine Ausdehnung haben und damit echte, reale Massenpunkte wären. Siehe dazu auch Elektronendurchmesser ↗

Fußnoten

[1] "Massenpunkt, Punktmasse, Punkt eines Körpers oder Systems, in dem man sich seine gesamte Masse vereinigt denkt." In: der Artikel "Massenpunkt". Spektrum Lexikon der Physik. Abgerufen am 19. August 2025. Online: https://www.spektrum.de/lexikon/physik/massenpunkt/9474

[2] David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker: Halliday Physik. Dritte, vollständig überarbeitete und erweiterte Auflage. WILEY-VCH, Weinheim, 2017.

[3] Horst Stöcker (Hrsg.): Taschenbuch der Physik: Formeln, Tabellen, Übersichten. 6. korrigierte Auflage. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2010, ISBN 978-3-8171-1861-8, S. 10 (XXIV, 1079).

[4] Die Definition des materiellen Punktes, des Massenpunktes findet man in: Gustav Robert Kirchoff: Vorlesungen über mathematische Physik. 4 Bände, B. G. Teubner, Leipzig 1876–1894. Band 1: Mechanik. 1. Auflage. B. G. Teubner, Leipzig 1876. Dort im §2 des ersten Kapitels. Siehe auch Gustav Robert Kirchhoff ↗

[5] Die Kompliziertheit realer Bewegungen findet sich in: Gustav Robert Kirchoff: Vorlesungen über mathematische Physik. 4 Bände, B. G. Teubner, Leipzig 1876–1894. Band 1: Mechanik. 1. Auflage. B. G. Teubner, Leipzig 1876. Dort im §2 des ersten Kapitels. Siehe auch Gustav Robert Kirchhoff ↗

[6] In Newtons Worten klang das Denken mit unendlich kleinen Dingen unendlich großer Anzahl für die konzentrisch gedachte Kugeln für seinen Schwerpunktsatz so: "§.116. Anmerkung. Die Oberflächen, aus denen die festen Körper gebildet werden, sind hier nicht rein mathematische, sondern so dünne Schalen, dass ihre Dicke dem Nichts ähnlich wird. Sie sind nämlich verschwindende Schalen, aus denen zuletzt die Kugel besteht, wenn ihre Anzahl ins Unendliche vermehrt und ihre Dicke ins Unendliche vermindert wird, nach der anfangs in den allgemeinen Lehnsätzen erläuterten Methode. Auf ähnliche Weise hat man unter Punkten, aus denen man sich Linien, Flächen und Körper gebildet denkt, gleiche Theilchen von zu vernachlässigender Grösse zu verstehen." In: Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre, Buch I – Abschnitt XII. Von den anziehenden Kräften sphärischer Körper. Übersetzung von Jakob Philipp Wolfers, Berlin 1872. Siehe auch Infinitesimalrechnung ↗

[7] Erdkern, Erdmantel, Erdkruste und dann die Hydro- und die Atmosphäre: die Schalen der Erde sind nicht geometrisch perfekt. Aber das bloß Auge würde bei einer durchscheinenden, transluzenten Erde aus dem Weltraum nur wenig oder gar keie Abweichung davon bemerken. Siehe mehr unter Schalenmodelle ↗

[8] Zum Schwerpunktsatz nach Newton: "§. 117. Lehrsatz. Unter denselben Voraussetzungen wird ein ausserhalb der Kugel befindlicher kleiner Körper durch eine Kraft angezogen, welche dem Quadrat seines Abstandes vom Mittelpunkte umgekehrt proportional ist." In: Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre, Buch I – Abschnitt XII. Von den anziehenden Kräften sphärischer Körper. Übersetzung von Jakob Philipp Wolfers, Berlin 1872. Online: https://de.wikisource.org/wiki/Mathematische_Principien_der_Naturlehre/Buch1-XII

[9] Zum Schwerpunktsatz beliebiger Körper: Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre, Buch I – Abschnitt XIII. Von den anziehenden Kräften sphärischer Körper. Übersetzung von Jakob Philipp Wolfers, Berlin 1872.https://de.wikisource.org/wiki/Mathematische_Principien_der_Naturlehre/Buch1-XIII

[10] Newton hatte aufmerksam und intensiv die Werke anderer Naturforscher vor ihm gelesen, etwa von Rene Descartes. Der historische Rahmen des Gedankens vom "Massenpunkt" ist ausführlich dargestellt in: Karl von Mëyenn (Herausgeber): Die Grossen Physiker. Band I "Von Aristoteles bis Kelvin", Band II "Von Maxwell bis Gell-Mann". C. H. Beck Verlag. München, 1997. ISBN für beide Bände: 3-406-4115-7. Dort im Band I im Kapitel zu Isaac Newton, speziell auf den Seiten 203 und 204.