Kreisumlaufbahn berechnen
Himmelsmechanik
Basiswissen
Ein kleiner und leichter Körper bewegt sich auf einer fast kreisförmigen Bahn um einen schweren Zentralkörper. Dieser Fall wird hier rechnerisch betrachtet.
Allgemeine Formeln
- v = 2·Pi·r:T
- w = Delta Phi : Delta t
Legende
- Delta Phi = Überstrichener Winkel in der Zeit t
- w = z. B. in rad => Winkelgeschwindigkeit
- v = z. B. in m/s => Bahngeschwindigkeit
- r = z. B. in m => Kreisradius
- T = z. B. in s => Umlaufdauer
Astronomische Kreisbahn
Ein klassischer Fall einer gleichförmigen Kreisbewegung ist der Umlauf kleiner Himmelskörper um große und schwere Zentralkörper. Eine Raumstation, die um die Erde kreist, wäre ein typisches Beispiel. Der umkreisende Körper heißt auch Satellit. Tatsächlich bewegen sich viele Satelliten nicht exakt auf Kreisbahnen. Aber für viele Betrachtungen benutzt man trotzdem die eher einfachen Formeln einer Kreisbahn.
Lösungsidee
- Ein kleiner Körper, der Satellit umkreist einen großen Zentralkörper.
- Der große schwere Zentralkörper wird als ruhend im Kreismittelpunkt angenommen.
- Der Satellit bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit auf der Kreislinie.
- Zwischen den beiden Körper wirkt eine Anziehungskraft.
- Auf den Satelliten wirkt eine Zentrifugalkraft.
- Wird eine Kraft größer als die andere, dann ...
- verlässt der Satellit seine Kreisbahn.
- Im Umkehrschluss gilt dann aber auch:
- Solange er auf der Kreisbahn bleibt, ...
- Sind Anziehungs- und Zentrifugalkreift gleich groß.
- Darüber kann man Gleichungen gleichsetzen und nach gesuchten Größen auflösen.
Formeln zur Kreisumlaufbahn
- Für die Gravitationskraft gilt: Fg = G·m₁·m₂:r²
- Für die Zentrifugalkraft gilt: Fz = m₂·w²r
- Alternativ für Zentrifugalkraft: Fz = m₂·v²/r
- Gleichsetzen: G·m₁·m₂:r² = m·w²r
- Dann: nach Gesuchtem umstellen
- Mehr unter => orbitales Kräftegleichgewicht
Legende
- Fg = z. B. in Newton ist die => Gravitationskraft
- Fz = z. B. in Newton ist die => Zentrifugalkraft
- m₁ = z. B. in kg ist die Masse des schweren Zentralkörpers
- m₂ = z. B. in kg ist die Masse des leichten Satelliten
- ω = z. B. in rad/s, das kleine Omega für die => Winkelgeschwindigkeit
- v = z. B. in m/s, das kleine vau für die => Bahngeschwindigkeit
- r = z. B. in m ist der Radius der => Kreisbahn
Praxisbeispiel zur Kreisumlaufbahn
Geostationäre Satelliten bewegen sich mit 3,07 km/s auf einer Bahn fast 36 Tausend Kilometer über dem Äquator. Diese Angaben können als Kontrolle für eine eigenen dienen. Siehe mehr unter => geostationär
Was ist die Roche-Grenze?
Die Roche-Grenze ist ein bestimmter Abstand von einem Zentralkörper. Bewegt sich ein Mond außerhalb dieser Grenze, dann bleibt er stabil. Unterschreitet er die Grenze, wird er von sogenannen Gezeitenkräften in viele Einzelbrocken zerrissen. Diese Brocken bilden dann einen Planetenring. Siehe auch => Roche-Grenze
