Basiswissen

4 Aufgabentypen

• a) Endliche Einzelfläche auf einer Seite der x-Achse: 👉 bestimmtes Integral
  

• b) Endliche Teilflächen über und unter der x-Achse 👉 Flächenbilanz
  

• c) Endliche Teilflächen über und unter der x-Achse 👉 Flächenbetrag
  

• d) Unendliche Flächen mit Asymptoten 👉 uneigentliches Integral
  

a) Einzelfläche

• Man berechnet das bestimmte Integral von a bis b:
  

• Man hat eine linke und eine rechte Integrationsgrenze, auch Rand genannt.
  

• Der Graph verläuft dort ganz unterhalb- oder ganz oberhalb der x-Achse.
  

• Man sucht den Flächeninhalt dieser einzelnen Fläche.
  

• Der Rechenweg steht unter 👉 bestimmtes Integral berechnen
  

b) Teilflächen als Flächenbilanz

• Man berechnet das bestimmte Integral von a bis b:
  

• Das kleine a ist die linke Integrationsgrenze und b die rechte.
  

• Der Graph verläuft dort teilweise über und teilweise unter der x-Achse.
  

• Der Graph hat damit immer auch mindestens eine Nullstelle.
  

• Die Nullstellen sind die Grenzen zwischen den Teilflächen.
  

• Man sucht die sogenannten Bilanz aller Flächen des Graphen:
  

• Flächen über der x-Achse sollen positiv gerechnet werden.
  

• Flächen unter der x-Achse sollen negativ gerechnet werden.
  

• Positive und negative Flächen gleichen sich also gegenseitig aus.
  

• Ein Integral berechnet automatisch immer diese Flächenbilanz.
  

• Siehe dazu unter 👉 Flächenbilanz berechnen
  

c) Teilflächen als Flächenbetrag

• Man muss Teilflächen einzeln berechnen:
  

• Das kleine a ist die linke Integrationsgrenze und b die rechte.
  

• Der Graph verläuft dort teilweise über und teilweise unter der x-Achse.
  

• Der Graph hat damit immer auch mindestens eine Nullstelle.
  

• Die Nullstellen sind die Grenzen zwischen den Teilflächen.
  

• Man sucht die tatsächliche größe aller Flächen als eine positive Zahl.
  

• Alle Flächen - auch solche unterhalb der x-Achse - gelten als positiv.
  

• Fächen oberhalb und unterhalb der x-Achse werden einzeln berechnet.
  

• Siehe unter 👉 Flächenbetrag berechnen
  

d) Unendliche Flächen als uneigentliches Integral

• Der Graph von f(x) verläuft irgendwo auch asymtpotisch.
  

• Das heißt: er nähert sich einer Geraden immer mehr an.
  

• Dadurch können unendliche lange Flächenstücke entstehen.
  

• Siehe dazu unter 👉 uneigentliches Integral
  

Herleitung: Säulenmethode