Flächenbetrag berechnen


Anleitung


Basiswissen


Das Wort Flächenbetrag gehört in die Integralrechnung. Der Flächenbetrag meint hier den Flächeninhalt, den eine Kurve (z. B. eine Parabel) mit der x-Achse und zwei weiteren senkrechten Linien im Graphen einschließt. Hier steht eine kurze Anleitung zur Berechnung.

Gegeben: ∫f(x)·dx


Man hat eine Funktionsgleichung f(x) gegeben, z. B. f(x) = 4x-2. Idealerweise kennt man noch den Graphen, hier eine Gerade (als einfaches Beispiel). Zusätzlich müssen noch die linke und die Integrationsgrenze bekannt sein, oft abgekürzt mit einem a und einem b. Diese Informationen sind oft gegeben mit Hilfe von einem => Integralzeichen

Gesucht: Flächenbetrag


Der Flächenbetrag ist immer eine positive Zahl. Das meint das Wort Betrag. Berechnet man Flächen mit Hilfe eines Integrals, wird für Flächen unterhalb der x-Achse das Ergebnis aber immer eine negative Zahl sein. Deshalb muss man von allen negativen Flächen zunächst den Betrag nehmen: aus der Zahl -4 wird als Betrag die Zahl 4. Siehe auch => Flächenbetrag

Ansatz: abschnittsweise


Verläuft ein Graph teilweise oberhalb und teilweise unterhalb der x-Achse, dann muss man die einzelnen Teilflächen einzeln als Integral berechnen. Die Grenzen zwischen diesen Teilflächen sind die Nullstellen des Graphen. Von den Flächen unterhalb der x-Achse nimmt man den Betrag, man macht sie also immer positiv. Die Flächen oberhalb der x-Achse sind schon automatisch positiv, man übernimmt sie unverändert. Beispiel: Ein Graph hat 4 Flächeneinheiten über der x-Achse und 1 Flächeneinheit unter der x-Achse. Zusammen ergeben sie einen Flächenbetrag von 5 Flächeneinheiten.

Schritt-für-Schritt


◦ Man nimmt f(x) und bildet F(x), also eine => Stammfunktion
◦ Man bestimmt zuerst links und rechts die => Integrationsgrenzen
◦ Diese Integrationsgrenzen sind oft in der Aufgabenstellung gegeben.
◦ Man bestimmt dann alle Nullstellen von f(x) => Nullstellen bestimmen
◦ Man teilt den Graphen in Abschnitte ein:
◦ Jede Integrationsgrenze und jede Nullstelle begrenzt einen Abschnitt.
◦ Für jeden Abschnitt einzeln berechnet man ein => bestimmtes Integral
◦ Negative Ergebnisse macht man positiv, lässt also das Minuszeichen weg.
◦ Man addiert die absoluten Flächen alle Abschnitte auf.
◦ Das Ergebnis ist der Flächenbetrag.

Zahlenbeispiel


◦ Gegeben ist die Funktion f(x) = 4x-2
◦ Die Integrationsgrenzen seien: links a = -2 und rechts b = 5
◦ Man bildet erst eine Stammfunktion: F(x) = 4·½·x²-2x, vereinfacht: F(x) = 2x²-2x
◦ Man berechnet die Nullstellen: für f(x) = 4x-2 ist die einzige Nullstelle: x=0
◦ Man berechnet abschnittsweise die bestimmten Integrale von -2 bis 0 und dann von 0 bis 3:
◦ Das bestimmte Integral von -2 bis 0 ist: F(0)-F(-2) = 0 - (2·(-2)²-2·(-2)) = -12
◦ Das bestimmte Integral von 0 bis 5 ist: F(5)-F(0) = 2·(5)²-2·(5)-0 = 40
◦ Man nimmt von allen Integralen nur den Betrag und addiert diese: 12+40
◦ Das Ergebnis ist der Flächenbetrag von x=-2 bis x=5, also: 52 ✔