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LGS graphisch lösen


Analysis


Basiswissen


Ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten kann man sowohl rechnerisch[1] wie auch graphisch lösen. Hier ist das graphische Verfahren kurz vorgestellt.

Was sollte man vorab wissen?



Beispiele



Schritt-für-Schritt Kurz-Anleitung



Die Grundidee der graphischen Lösung eines LGS


Jede lineare Gleichung mit zwei Unbekannten, etwa x und y, hat unendlich viele Lösung. Jede Lösung besteht immer aus einem Wertepaar aus einem x- und einem y-Wert[2]. Eine Lösung kann dann auch Punkt in einem Koordinatensystem gezeichnet werden[3]. Alles Lösungen einer Gleichung zusammen ergeben dann eine Gerade in einem xy-Koordinatensystem[4].

1.0 Die Lösungsmenge einer linearen Gleichung mit x und y als Unbekannten ergibt in einem xy-Koordinatensystem eine Gerade.

Wenn man nun zwei solche linearen Gleichungen hat, dann ergeben sich nach dieser Logik auch zwei Geraden. Der Punkt, in dem sich die beiden Geraden schneiden, kann mit einem x- und einem y-Wert angegeben werden[5]. Dieses (x|y)-Wertepaar ist dann eine Lösung, die für beide Gleichungen gleichzeitig gilt. Damit ist sie auch die Lösung des linearen Gleichungsystems.

2.0 Der Schnittpunkt von zwei Geraden in einem xy-Koordinatensystem gibt die Lösung des linearen Gleichungssystems.

Indem man also die Lösungsmenge von zwei linearen Gleichungen in einem xy-Koordinatensystem zeichnet, kann man immer die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems bestimmen.

Sonderfall I: es gibt genau eine Lösung


Wenn sich zwei Geraden in genau einem Punkt treffen, so wie sich die zwei Linien des Buchstaben X in einem Schnittpunkt treffen, dann hat das dazugehörige lineare Gleichungssystem genau eine Lösung.

3.0 Haben die zwei Geraden genau einen Schnittpunkt, dann hat das LGS genau eine Lösung.

Das gilt zum Beispiel für die Gleichungen y=0,5x+2 und x+y=10. Hier gibt es nur den Schnittpunkt (8|2) und damit als Lösung des linearen Gleichungssystem x=8 und y=2.

Sonderfall II: es gibt gar keine Lösung


Wenn zwei Geraden keinen gemeinsamen Schnittpunkt haben, dann hat das dazugehörigen lineare Gleichungsystem auch keine Lösung. Das ist immer der Fall, wenn zwei Geraden parallel[6] aber nicht identisch sind.

4.0 Haben zwei Geraden keinen Schnittpunkt, dann hat das LGS gar keine Lösung.

Ein Beispiel ist hier das LGS y=4x+3 und y=4x+5. Beide Geraden sind parallel, aber die zweite Gerade verläuft oberhalb der ersten Geraden.

Sonderfall III: es gibt unendlich viele Lösungen


Wenn zwei Geraden identisch sind[7], das heißt, sie liegen im Koordinatensystem genau aufeinander, dann hat das dazugehörige lineare Gleichungssystem unendlich viele Lösungen: jeder Punkt der einen Geraden, ist automatisch auch ein Punkt der anderen Geraden.

5.0 Haben zwei geraden mehrere gemeinsame Schnittpunkte, dann hat das LGS unendlich viele Lösungen.

Ein Beispiel ist das LGS y=4x+2 und 8x-2y=-4. Wenn man für beide Gleichungen den Graphen zeichnet, stellt man fest, dass sie dieselbe Gerade haben. Jede Lösung der ersten Gleichung ist damit automatisch eine Lösung der zweiten Gleichung. So passt x=1 und y=6 auf beide Gleichungen. Aber auch x=2 und y=10 passt auf beide Gleichungen.

Was ist der Sinn von graphischen Lösungsverfahren?


Um ein lineares Gleichungsystem zu lösen, verwendet man heute meistens rechnerische Verfahren[1], oft auf Computern. Wozu also noch die graphischen Verfahren lernen? Der große Nutzen ist weniger das eigentliche graphische Lösen von Gleichungssystemen, sondern die Fähigkeit, überhaupt vom rechnerischen ins graphische Denken wechseln zu können.

6.0 Das Trainining der Fähigkeit, überhaupt graphisch oder visuelle denken zu können ist wichtiger als das eigentliche Lösungsverfahren mit echten Zahlen.

In der höheren Mathematik lernt man später Gleichungen kennen, der Lösungsmengen zum Beispiel Kugelflächen oder Ebenen sind. So ist der Graph der Gleichung 3x+3y+1z=17 eine Ebene in einem dreidimensionalen Koordinatensystem. Wie sieht die Lösungsmenge als Graph aus, wenn man zwei solche Gleichungen mit je drei Unbekannten zu einem LGS verbindet? Die Antwort ist, dass die Lösungsmenge selbst eine Gerade sein kann[8]. Andere Gleichungen wie etwa x²+y²=16 hat als Lösungsmenge einen Kreis. Mit etwas Phantasie kann man sich ausmalen, dass ein visuelles oder geometrisches Denken hier oft schneller gute Ansätze und Lösungen liefern kann als ein rein rechnerisches denken. Siehe dazu auch Triple-Code Modell ↗

Welche Alternativen gibt es zu graphischen Lösungsverfahren?


Neben dem graphischen Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme gibt es verschiedene rein rechnerische Verfahren. Oft führen mehrere verschiedene der Verfahren zur richtigen Lösung. Aber je nachdem, in welcher Form die Gleichung gegeben sind, sind manche Verfahren deutlich einfacher und schneller als andere:


Fußnoten