Gauß-Algorithmus


Anleitung


Basiswissen


Der sogenannte Gauß-Algorithmus, auch Gauß-Verfahren oder Gaußsches Eliminierungsverfahren genannt, dient der Lösung von linearen Gleichungssystemen (LGS) mit mehr als 2 Unbekannten und mehr als zwei Gleichungen. Grundstätzlich kann man jedes LGS auch ohne Gauß lösen. Das Verfahren ist aber meistens wesentlich schneller und einfacher als jedes andere Lösungsmethode.

Algorithmus


In der Schulmathematik wird der Algorithmus meistens an einem LGS mit drei Gleichungen erklärt. Man nummeriert die Gleichungen von oben nach unten mit römischen Zahlen (I, II, III) durch und schreibt die Gleichungen übereinander. Man bringt dann alle Gleichungen in eine vorgegebene Form: ax+by+cz=d. Dabei sind a, b, c und d tatsächlich ausgeschriebene Zahlen. x, y und z sind die Unbekannten. Ab hier folgt der Algorithmus dann immer denselben Schritten:

Beispiel für 3 Unbekannte


I 2x + 1y + 1z = 11
II 2x + 2y + 2z = 18
III 3x + 2y + 3z = 24

◦ Hier heißen die Unbekannten x, y und z.
◦ Sie könnten aber auch andere Namen haben.
◦ Üblich sind z. B. auch x1, x2 und x3.

Die Reihenfolge ist wichtig


◦ Ganz links steht in jeder Zeile das x mit seinem Koeffizienten (Vorfaktor).
◦ Dann kommt das y, dann das z, dann das Gleichzeichen, ...
◦ und rechts vom Gleichzeichen steht die Zahl ohne Unbekannte.
◦ In jeder der drei Gleichungen kommen die selben drei Unbekannten vor.

Vorbereitung: Koeffizientenmatrix


◦ Man lässt bein Aufschreiben alle Unbekannten weg.
◦ Dann bleiben nur noch die Zahlen (Koeffizienten) übrig.
◦ Das spart Schreibarbeit und macht alles übersichtlicher.
◦ Das gibt die sogenannte => Koeffizientenmatrix

2 1 1 11
2 2 2 18
3 2 3 24

Vorbereitung: oben links keine 0


◦ Nun prüft man, dass in der Koeffizientenmatrix oben links keine Null steht.
◦ Im Beisiel ist das nicht der Fall, man muss dann auch nichts weiter unternehmen.
◦ Steht aber oben links eine Null, dann vertauscht man die oberste Zeile mit irgend einer anderen Zeile.
◦ Wichtg ist dann, dass oben links am Ende keine Null mehr steht.

Was ist das erste Ziel?


◦ Das erste Ziel des Algorithmus ist die sogenannte => Stufenform
◦ Die Stufenform heißt oft auch Dreiecks- oder Treppenform:

* * * *
0 * * *
0 0 * *

◦ In der zweiten Zeile steht dann links eine Null.
◦ In der dritten Zeile stehen links zwei Nullen.
◦ Die anderen Zahlen sind ganz egal.

Welche Umformungen kann man nutzen?


Um das LGS in die Stufenform zu bringen, darf man immer eine vor fünf Umformungen durchführen. Man kann die Umformungen auch öfters hintereinander ausführen. Jeder der folgenden Umformungen ist immer erlaubt - aber auch nur diese Umformungen:

◦ eine beliebige Zeile mit einer beliebigen anderen Zeile vertauschen.
◦ alle Zahlen in einer Zeile mit der selben Zahl durchmultiplizieren (außer der Null),
◦ alle Zahlen in einer Zeile durch die selbe Zahl teilen (außer durch Null),
◦ alle Zahlen aus einer Zeile zu den Zahlen einer anderen Zeile addieren,
◦ alle Zahlen von einer Zeile von den Zahlen einer anderen Zeile abziehen.

Das Verfahren im Überblick


1. Falls Brüche vorhanden sind, diese über Multiplikation mit Hauptnenner beseitigen.
2. Mache über Multiplikation alle Zahlen der ersten Spalte (von oben nach unten) gleich.
2. Steht ganz links in einer Zeile schon eine 0, kann man diese Zeile ganz ignorieren.
2. Jetzt stehen die drei Zeilen so da, dass die Zahlen in der ersten Spalte alle gleich sind.
3. Schreibe dann die oberste Zeile neu auf (ohne Änderung)
3. Dann: Zweite Zeile minus erste Zeile, kurz: II-I
4. Dann: Dritte Zeile minus erste Zeile, kurz: III-I
6. Mache über Multiplikation in II und III die Zahlen der zweiten Spalte gleich.
7. Dann: von dritter Zeile die zweite abziehen, kurz: III-II
8. Jetzt ist die Stufenform erreicht, schreibe alles neu hin.

Für das LGS oben kommt am Ende raus:


x y z
6 3 3 33
0 3 3 21
0 0 6 24

9. Unbekannten wieder hinschreiben


I 6x + 3y + 3z = 33
II 0x + 3y + 3z = 21
III 0x + 0y + 6z = 24

10. Rückwärtseinsetzen


◦ Löse III, das gibt hier: z=4
◦ Setze die Lösung für z in II ein. Bestimme dann y. Das gibt im Beispiel: y=3
◦ Setze die Lösungen für y und z in I ein. Bestimme dann x. Das gibt im Beispiel: x=2

11. Endergebnis aufschreiben


◦ x=2 ✔
◦ y=3 ✔
◦ z=4 ✔

Was bedeutet die Lösung anschaulich?


Anschaulich steht jede der drei Gleichungen für eine Ebene in einem dreidimensionalen xyz-Koordinatensystem. Die Lösung ist der Schnittpunkt dieser drei Ebenen. Das ist ausführlich besprochen unter => LGS mit drei Gleichungen lösen

Synonyme


=> LGS graphisch interpretieren
=> Diagonalverfahren
=> Gauß-Algorithmus
=> Gauß-Verfahren

Aufgaben zum Gauß-Algorithmus


Hier sind als Quickcheck einige Aufgaben mit Lösungen zum Gauß-Algorithmus zusammengestellt. Direkt zu den Aufgaben geht es über => qck