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Gauß-Algorithmus


Anleitung


Basiswissen


Der sogenannte Gauß-Algorithmus, auch Gauß-Verfahren oder Gaußsches Eliminierungsverfahren genannt, dient der Lösung von linearen Gleichungssystemen (LGS) mit mehr als 2 Unbekannten und mehr als zwei Gleichungen. Grundstätzlich kann man jedes LGS auch ohne Gauß lösen. Das Verfahren ist aber meistens wesentlich schneller und einfacher als jedes andere Lösungsmethode.

Algorithmus


In der Schulmathematik wird der Algorithmus meistens an einem LGS mit drei Gleichungen erklärt. Man nummeriert die Gleichungen von oben nach unten mit römischen Zahlen (I, II, III) durch und schreibt die Gleichungen übereinander. Man bringt dann alle Gleichungen in eine vorgegebene Form: ax+by+cz=d. Dabei sind a, b, c und d tatsächlich ausgeschriebene Zahlen. x, y und z sind die Unbekannten. Ab hier folgt der Algorithmus dann immer denselben Schritten:

Beispiel für 3 Unbekannte


I 2x + 1y + 1z = 11
II 2x + 2y + 2z = 18
III 3x + 2y + 3z = 24


Die Reihenfolge ist wichtig



Vorbereitung: Koeffizientenmatrix



2 1 1 11
2 2 2 18
3 2 3 24

Vorbereitung: oben links keine 0



Was ist das erste Ziel?



* * * *
0 * * *
0 0 * *


Welche Umformungen kann man nutzen?


Um das LGS in die Stufenform zu bringen, darf man immer eine vor fünf Umformungen durchführen. Man kann die Umformungen auch öfters hintereinander ausführen. Jeder der folgenden Umformungen ist immer erlaubt - aber auch nur diese Umformungen:


Das Verfahren im Überblick


1. Falls Brüche vorhanden sind, diese über Multiplikation mit Hauptnenner beseitigen.
2. Mache über Multiplikation alle Zahlen der ersten Spalte (von oben nach unten) gleich.
2. Steht ganz links in einer Zeile schon eine 0, kann man diese Zeile ganz ignorieren.
2. Jetzt stehen die drei Zeilen so da, dass die Zahlen in der ersten Spalte alle gleich sind.
3. Schreibe dann die oberste Zeile neu auf (ohne Änderung)
3. Dann: Zweite Zeile minus erste Zeile, kurz: II-I
4. Dann: Dritte Zeile minus erste Zeile, kurz: III-I
5. Schreib dann die obersten Zeile neu auf (ohne Änderung)
6. Mache über Multiplikation in II und III die Zahlen der zweiten Spalte gleich.
7. Dann: von dritter Zeile die zweite abziehen, kurz: III-II
8. Jetzt ist die Stufenform erreicht, schreibe alles neu hin.

Für das LGS oben kommt am Ende raus:


x y z
6 3 3 33
0 3 3 21
0 0 6 24

9. Unbekannten wieder hinschreiben


I 6x + 3y + 3z = 33
II 0x + 3y + 3z = 21
III 0x + 0y + 6z = 24

10. Rückwärtseinsetzen



11. Endergebnis aufschreiben



Was bedeutet die Lösung anschaulich?


Anschaulich steht jede der drei Gleichungen für eine Ebene in einem dreidimensionalen xyz-Koordinatensystem. Die Lösung ist der Schnittpunkt dieser drei Ebenen. Das ist ausführlich besprochen unter LGS mit drei Gleichungen lösen ↗

Synonyme



Aufgaben zum Gauß-Algorithmus


Hier sind als Quickcheck einige Aufgaben mit Lösungen zum Gauß-Algorithmus zusammengestellt. Direkt zu den Aufgaben geht es über => qck