Stirlingformel
Kombinatorik
Basiswissen
Der Begriff Stirlingformel steht für verschiedene Varianten und Schreibweisen einer Formel zur Berechnung großer Fakultäten. Hier sind zwei Varianten mit vorgerechneten Zahlenbeispielen kurz vorgestellt.
Die Stirlingformel
Die erste Formel gilt für alle natürlichen Zahlen als Argument von x, die zweite Formel gilt für alle positiven reellen Zahlen, wobei die Näherung nur für große Werte von x ausreichend genau wird.
- Variante 1: x! = e hoch (ln 1 + ln 2 + ln 3 + .... + ln x)
- Variante 2: x! ≈ √(2·π·x)·(x/e)^x
MIT
Rechenbeispiel
Der Ausdruck 6! heißt ausgeschrieben 1·2·3·4·5·6 und gibt als Ergebnis genau den Wert 720. Man kann damit nun die Genauigkeit der beide Varianten der Näherungsformel abschätzen:
- Variante 1: 6! = e hoch (ln 1 + ln 2 + ln 3 + ln 4 + ln 5 + ln 6)
- Variante 1: 6! ≈ e hoch (0 + 0.6931 + 1.0986 + 1.3863 + 1.6094 + 1.7918)
- Variante 1: 6! ≈ e hoch 6.5792 ≈ 719.9631 ✔
- Variante 2: 6! ≈ √(2·π·6)·(6/e)^6
- Variante 2: 6! ≈ 710 ✔