Fakultät
Mathematik
Basiswissen
5! spricht man 5-Fakultät aus. Das meint 1·2·3·4·5 und gibt als Zahl 120. Kurz: 5! = 120[1]. Es werden kurz Berechnungen und Anwendungen vorgestellt.
Was meint Fakultät in der Mathematik?
- 4 Fakultät meint, dass man 1 mal 2 mal 3 mal 4 = 24 rechnen soll.
- Fakultät schreibt man mit einem Ausfrufezeichen.
- 4! wird ausgesprochen als "vier Fakultät".
- Allgemein meint n!, dass man alle natürlichen Zahlen ...
- von 1 bis n miteinander multiplizieren soll.
- n selbst darf auch nur eine natürliche Zahl sein.
Was wären Beispiele?
- 0! = 1
- 1! = 1
- 2! = 1·2 = 2
- 3! = 1·2·3 = 6
- 4! = 1·2·3·4 = 24
Für welche Zahlen ist die Fakultät definiert?
- Die Fakultät ist nur für natürliche Zahlen und die 0 definiert.
- Natürliche Zahlen sind die normalen Zählzahlen wie 1, 2, 3 etc.
- Negative Zahlen und echte Kommazahlen haben keine Fakultät.
- Auch komplexe Zahlen haben keine Fakultät.
Was kann sie direkt berechnen?
- Permutationen ohne Wiederholungen:
- Das meint: man hat n verschiedene Objekte.
- n steht hier für eine beliebige natürliche Zahl.
- Wie viele verschiedene Reihenfolgen gibt es, ...
- n verschiedene Objekte nacheinander anzuordnen?
- Die Antwort wird berechnet über n!
- Beispiel: man hat 3 verschiedene Buchstaben: G, A und T.
- Es gibt 3! = 1·2·3 = 6 verschiedene Anordnungen dafür.
- Sie sind:
- G A T
- G T A
- A G T
- A T G
- T A G
- T G A
In welchen Themen kommt ! vor?
- Die Fakultätsrechnung kommt vor allem in der Kombinatorik vor.
- Und über die Kombinatorik kommt sie in die Stochastik.
- In der Schulmathematik spielt sie vor allem eine Rolle ...
- beim Thema Binomialkoeffizient ↗
- und bei der Bernoulli-Kette ↗
Fußnoten
- [1] 1905: "In der Mathematik nennt man F. einer positiven ganzen Zahl n das Produkt 1. 2. 3... n aller natürlichen Zahlen von 1 bis n, man schreibt dafür kurz n! (gelesen: n Fakultät). Schon Euler stellte eine Funktion (s.d.) auf, die sogen. Gammafunktion, die für beliebige Werte ihres Argumentes x definiert ist und die, sobald x gleich einer positiven ganzen Zahl n wird, den Wert n! annimmt, so daß man also dem Zeichen n! auch für solche Werte von n, die keine positiven ganzen Zahlen sind, einen Sinn beilegen kann. Allgemeinere Funktionen ähnlicher Art, die sogen. analytischen Fakultäten, sind von Kramp, Crelle und Bessel eingeführt worden. Eine sichere Grundlage hat jedoch erst Weierstraß diesen Spekulationen gegeben durch die Abhandlung: »Über die Theorie der analytischen Fakultäten« (1854), wiederabgedruckt in seinen »Abhandlungen aus der Funktionenlehre« (Berl. 1886)." In: Meyers Großes Konversations-Lexikon, Band 6. Leipzig 1906, S. 285. Online: http://www.zeno.org/nid/20006586465
- [2] 1911: "F. in der Mathematik der Ausdruck für ein Produkt, dessen Faktoren durch die Glieder der natürlichen Zahlenreihe, von 1 beginnend, gebildet werden; z.B. 1 × 2 × 3 × 4; geschrieben 4! (gesprochen 4 F.)." In: Brockhaus' Kleines Konversations-Lexikon, fünfte Auflage, Band 1. Leipzig 1911., S. 554. Online: http://www.zeno.org/nid/20001096095