Basiswissen

Gegeben

• Man hat eine quadratische Funktion in der Normalform gegeben.
  

• Die Normalform ist: f(x)=x²+px+q oder f(x)=x²+ax+b
  

• Wichtig: vor dem x² darf kein Faktor stehen, auch kein Minus.
  

• x² oder 1x² wären OK. Die 1 als Vorfaktor kann man weglassen.
  

• Bei Vorfaktoren siehe unter Scheitelpunkt aus allgemeiner Form ↗
  

Gesucht

• Gesucht ist der Scheitelpunkt.
  

• Das ist bei einer Parabel immer der höchste oder tiefste Punkt.
  

• Bei f(x)=x² wäre es zum Beispiel der Punkt (0|0).
  

Verfahren

• Es gibt verschiedene Verfahren, um den Scheitelpunkt zu bestimmen.
  

• Die am meisten verwendeten werder hier kurz vorgestellt.
  

Quadratische Ergänzung

• Man wendet eine quadratische Ergänzung auf die Normalform an.
  

• Dadurch erhält man die Scheitelpunktform der Funktionsgleichung.
  

• Für f(x)=x²-6x+12 ist die SPF f(x)=(x-3)²+3.
  

• Der Scheitelpunkt ist damit beim Punkt (3|3).
  

• Das kann man aus de Scheitelpunktform direkt ablesen.
  

• Wie das geht steht unter Scheitelpunkt über quadratische Ergänzung ↗
  

Ableitung

• Man bildet die erste Ableitung von der f(x).
  

• Für f(x)=x²-6x+12 wäre das f'(x)=2x-6.
  

• Man seht f'(x) gleich 0 und löst nach x auf:
  

• Im Beispiel: 2x-6=0 umgeformt gibt x=3.
  

• Das ist der x-Wert des Scheitelpunktes.
  

• x-Wert einsetzen in f(x) gibt y=3.
  

• Also ist der Scheitelpunkt bei SP(3|3).
  

• Mehr unter Scheitelpunkt über Ableitung ↗
  

Graphisch

• Man hat den Funktionsgraphen gegeben.
  

• Daraus kann man direkt den Scheitelpunkt ablesen.
  

• Mehr dazu unter Scheitelpunkt aus Graph ↗
  

Sonstige

• Das wären die üblichsten Verfahren, weitere Methoden unter:
  

• Scheitelpunkt einer Parabel bestimmen ↗