Nullstellen aus Faktorisierter Form ablesen

Anleitung

Basiswissen

f(x) = f(x-a)·(x-b)

Bei der faktorisierten Form ist der Funktionsterm eine Malkette aus Klammern. Zwischen den Klammern steht ein Malzeichen, das auch fehlen darf. In den Klammern steht meistens ein Term der Art x+Zahl oder x-Zahl. Um die Nullstellen zu bestimmen, interpretiert man das + oder - als Vorzeichen der Zahl. Die Nullstellen sind dann die Gegenzahlen.

Beispiele zur faktorisierten Form

f(x) = (x-4)(x+5) ⭢ NS bei x=4 und x=-5

f(x) = (x+1)(x+2) ⭢ NS bei x=1 und x=-2

f(x) = (x-1)(x+0) ⭢ NS bei x=1 und x=0

f(x) = (x-7)(x-7) ⭢ NS bei x=7 Doppelnullstelle ↗

Ein Zahlenfaktor vor der Klammern ändert an den NS nichts

f(x) = 4(x-4)(x+5) ⭢ NS bei x=4 und x=-5 (wie oben)

f(x) = 7(x+1)(x+2) ⭢ NS bei x=1 und x=-2 (wie oben)

f(x) = 3(x-1)(x+0) ⭢ NS bei x=1 und x=0 (wie oben)

f(x) = 1(x-7)(x-7) ⭢ NS bei x=7 (wie oben))

Die Grundidee der faktorisierten Form

Die Kernidee dieser Art Nullstellen zu bestimmen ist der Satz vom Nullprodukt. Der Funktionsterm ist ein eine Malkette, also ein sogenannter Produktterm. Bei einem Produktterm gilt: wenn ein Faktor zu Null wird, dann wird der ganze Term zu Null. Da jede Klammer ein Faktor ist, genügt es, die Klammern einzeln und für sich alleine zu betrachten. Wenn man eine Zahl für x findet, die eingesetzt irgendeine der Klammern Null werden lässt, dann ist diese Zahl immer automatisch auch eine Nullstelle der ganzen Funktion. Siehe auch Satz vom Nullprodukt ↗

Vorteile der faktorisierten Form

Hat man einen Funktionsterm in der faktorisierten Form gegeben, kann man die Nullstellen oft ohne weitere komplizierte Rechnung direkt ablesen. Steht in einer Klammer etwa ein Term wie 3-x, dann sieht man sofort, dass die Zahl 3 eine Nullstelle ist. Siehe auch faktorisierte Form ↗

In die faktorisierte Form umwandeln

Oft sind Funktionen nicht in der faktorisierten Form gegeben. Oft lassen sie sich aber einfach nach dort umwandeln. Die häufigsten verwendeten Methoden sind das Ausklammern, die Anwendung einer der drei binomischen Formeln oder die sogenannte Polynomdivision. Einen Term in eine Malkette, also ein Produkt, umzuwandeln nennt man Faktorisieren ↗