Allgemeine Form in Faktorisierte Form


Anleitung


Basiswissen


f(x) = Ax²+Bx+C ist gegeben und gesucht ist die faktorisierte - also mit Klammern geschriebene - Form dieser quadratischen Funktion. Hier ist eine Umformungsmethode kurz skizziert.

Gegeben und gesucht


◦ Die Allgemeine Form AF ist gegeben: f(x) = Ax² + Bx + C
◦ Die faktorisierte Form FF ist gesucht: f(x) = a·(x-b)·(x-c)

Schritt 1


◦ Faktor vor dem x² ausklammer, falls vorhanden.
◦ Beispiel: aus f(x) = 2x²-10x+12 wird f(x) = 2·(x²-5x+6)
◦ Mit dem Klammerterm rechnet man die => pq-Formel
◦ Das gibt hier im Beispiel: x=3 und x=2

Schritt 2


Falls die pq-Formel mindestens ein Ergebnis gibt, dann gehe weiter zu Schritt 3. Falls die pq-Formel kein Ergebnis gibt, dann gibt es für diese Allgemeine Form keine faktorisierte Form. Man kann schreiben: "Die Funktion kann nicht in faktorisierter Form dargestellt werden". Fertig.

Schritt 3


Falls die pq-Formel genau zwei Lösungen gibt, dann gehe weiter zum Schritt 4. Falls die pq-Formel genau eine Lösung gibt - das heißt die zwei Lösungen dieselbe Zahl sind, dann sezte diese eine Lösungszahl sowohl für b und c in der faktorisierten Form ein. Setzte den vorher ausgeklammerten Faktor als Zahl a als Malzahl (Faktor) vor die Klammern. Beispiel: f(x) = 2x²-12x+18 -> f(x) = 2·(x²-6x+9) -> pq-Formel mit der Klammer gibt -> x=3 und x=3 -> einsetzen in a·(x-b)(x-c) -> gibt -> f(x) = 2·(x-3)(x-3) ✔

Schritt 4


Wenn bei der pq-Formel genau zwei verschiedene Lösungen herauskommen, dann setze die erste Lösungszahl für das b und die zweite Lösungszahl für das c ein. Beispiel: f(x) = 2x² - 8 -> 2 ausklammern -> f(x) = 2(x²-4) -> pq-Formel mit der Klammer gibt -> x=-2 x=2 -> einsetzen in a·(x-b)(x-c) -> gibt -> f(x) = 2·(x+2)(x-2) ✔

Beispiel für 2


◦ AF gegeben: f(x) = 2x² + 8x + 16
◦ FF: Kann nicht in FF dargestellt werden.

Beispiel für 3


◦ AF gegeben: f(x) = 2x² + 8x + 8
◦ FF ist dann: f(x) = (x-2)(x-2)

Beispiel für 4


◦ AF gegeben: f(x) = 2x² - 8
◦ FF ist dann: f(x) = (x+2)(x-2)