Normalform in faktorisierte Form
x² + px + q umwandeln in (x-a)·(x-b)
Basiswissen
Eine Schritt-für-Schritt Anleitung wie man eine quadratische Gleichung oder Funktion von der Normalform in die faktorisierte (Malkette aus Klammern) Form umwandelt.
Was ist gegeben?
Gegeben ist eine quadratische Gleichung oder Funktion in der sogenannten Normalform. Wichtig für die Normfalform ist, dass vor dem x² kein Faktor mehr steht. Keine Normalform wäre also etwas mit zum Beispiel 4x² oder -0,1x².
- Als Funktion: f(x) = x² + p·x + q
- Als Gleichung: 0 = x² + p·x + q
Was ist gesucht?
Gesucht ist die sogenannte faktorisierte Form der quadratischen Gleichung oder Funktion. Faktorisiert heißt hier so so viel wie: in eine Malkette aus zwei Klammern umgewandelt:
- Als Funktion: f(x) = (x-a)·(x-b)
- Als Gleichung: 0 = (x-a)·(x-b)
Kann immer umgewandelt werden?
Nein. Nicht jede Gleichung oder Funktion in Normalform kann auch als faktorisierte Form geschrieben werden. Wenn zum Beispiel die Parabel einer Funktion keine Nullstellen hat, dann gibt es keine dazu passende faktorisierte Form. Nur lösbare Gleichungen haben auch eine faktorisierte Form ↗
Wie wandelt man um?
Die hier verwendete Lösungsidee für die Umwandlung ist die Verwendung der pq-Formel. Mit ihr bestimmt man zunächst die Lösung der Gleichung beziehungsweise die Nullstellen der Funktion. Aus diesen kann man dann direkt die faktorisierte Form erstellen. Es folgt eine Schritt-für-Schritt Anleitung:
Schritt 1
- Gegebene Funktion: f(x) = x² + px + q
- FF gesucht: f(x) = (x-a)·(x-b)
Schritt 2
- Beispiel: f(x) = x² - 6x + 9
- Nullstellen über pq-Formel bestimmen:
- Dazu zuerst f(x) gleich 0 setzen:
- 0 = x² - 6x + 8
- Dann p und q ablesen:
- p = -6 und q = 8
- Dann in die pq-Formel einsetzen und lösen.
- Das gäbe im Beispiel: x=2 und x=4
- Siehe dazu auch pq-Formel ↗
Schritt 3
Falls mindestens eine NS herauskommt, gehe weiter zu Schritt 3. Falls keine NS herauskommt, dann gibt es für diese Normalform keine faktorisierte Form. Man schreibt dann als Antwort: "Nicht umwandelbar". Beispiel: f(x)=x²+8x+16 ist nicht umwandelbar.
Schritt 4
Falls die pq-Formel genau zwei Lösungen liefert, gehe weiter zum Schritt 4. Falls genau eine NS herauskommt, diese Zahl sowohl für a und b in die faktorisierte Form einsetzen. Beispiel: f(x)=x²-6x+9 wird zu: f(x)=(x-3)·(x-3)
Schritt 5
Falls die pq-Formel genau zwei verschiedene Nullstellen liefert, dann setze die erste Nullstelle für a und die zweite Nullstelle für b ein. Beispiel: f(x)=x²-6x+8 wird zu: f(x)=(x-4)·(x-2)
Wozu dient die Umwandlung?
Aus der Normalform kann man direkt die Öffung der Parabel ablesen. Aus der faktorisierten Form kann man direkt die Nullstellen ablesen. Die faktorisierte Form eignet sich auch besser, wenn in komplexen Termen gekürzt werden soll. Welche Form die geeignetere ist, hängt von der konkreten Aufgabenstellung ab.