Basiswissen

Der Term mv² oder ausgeschrieben auch m·v²:r steht für die Größe, also den Betrag, der Zentripetalkraft bei einer Kreisbewegung. Das m steht für die Masse des umlaufenden Körpers, v ist seine Bahngeschwindigkeit und r der Radius der Kreisbahn. Das ist hier mit einer kurzen Berechnung kurz vorgestellt.

Rechenbeispiel

Das folgende Rechenbeispiel kann man selbst als eine Art Mini-Versuch selbst nachstellen. Man markiere oder denke sich auf dem Boden einen Kreis mit einem Radius r von einem halben Meter. Dann laufe man auf dem Rand dieses Kreises, der Kreislinie, so ständig im Kreis, dass man für einen vollständigen Umlauf etwa 2 Sekunden benötigt. Die 2 Sekunden sind dann die sogenannte Umlaufzeit T.

Bahngeschwindigkeit berechnen

Wenn der Radius des Kreises 0,5 Meter oder ½ Meter ist, dann ist der Umfang etwa 1,5 oder 1½ Meter. Es gilt: Durchmesser mal Pi gibt den Umfang eines Kreises. Rundet man die Kreiszahl Pi auf 3, kann man bequem im Kopf damit rechnen. Und der Durchmesser ist immer das Doppelte des Radius. Wenn man also in 2 Sekunden rund 1,5 Meter läuft, dann ist man entlang der Kreislinie etwa 0,75 m/s schnell.

Formeln

v = 2·pi·r:T

v = pi·D:T

Einsetzen

v = 2 · 3 · 0,5 m : (2 s)

v = 1,5 m/s

Legende

v = die gesuchte Bahngeschwindigkeit ↗

pi = etwa 3, die Kreiszahl pi ↗

r = der Kreisradius ↗

T = die Umlaufzeit ↗

D = der Kreisdurchmesser ↗

Es ist ein interessantes Experiment, wie schnell man höchstens in einem so kleinen Kreis herum laufen kann. Wenn man schneller werden möchte, merkt man sehr schnell, wie stark man sich nach außen abdrücken muss. Die nötige Zentripetalkraft für die Kreisbahn wird sehr stark. Im Winter oder auf einer Eisbahn kann man das einmal auf einer Eisfläche probieren. Je geringer die Reibungskräft zwischen dem Boden und den eigenen Füßen ist, desto weniger Zentripetalkraft kann der Boden auf den Körper übertragen.

Zentripetalkraft berechnen

Schätzen wir jetzt ab, wie groß die Zentripetalkraft ist. Zum Vergleich: wenn man ein Gewicht von 5 Kilogramm in die Luft hält, braucht man dafür etwa 50 Newton Kraft. Ist die Kraft, die vom Boden auf die Füße Richtung Kreismitte übertragen werden muss größer oder kleiner als diese 50 Newton?

Formel

F = m·v²:r

Legende

F = die gesuchte Zentripetalkraft [meist in N] ↗

m = das Gewicht oder die Masse [z. B. in kg] ↗

v = die vorher berechnete Bahngeschwindigkeit ↗

r = der Kreisradius ↗

Einsetzen

F = 60 kg · (1,5 m/s)² : 0,5 m | Hochklammer auflösen ↗

F = 60 kg · 1,5² · (m/s)² : 0,5 m | Bruch hoch zwei ↗

F = 60 kg ·1,5² · m²/s² : 0,5 m | Kommutativgesetz ↗

F = 30 · 2,25 kg · m²/s² : m | Kürzen [die m] ↗

F = 30 · 2,25 kg·m/s² | Multiplizieren ↗

F = 67,5 kg·m/s² | Newton ↗

F = 67,5 N

Da wir mit pi = 3 gerechnet haben, pi aber tatsächlich etwas größer ist (etwa 3,14), können wir das Endergebnis für eine Abschätzung hier auf glatte 70 Newton aufrunden. Der Boden muss also ständig eine von außen zum Kreismittelpunkt gerichtete Kraft von 70 Newton auf unsere Füße ausüben, sodass wir auf der Kreisbahn bleiben können. Das entspricht der Kraft, mit der 7 Kilogramm (ein schwerer Schulranzen) von der Erde nach unten gezogen werden.

Die Rolle der Reibung

Sehr interessant ist es, diese Experiment mit dem schnellen Kreislauf einmal auf einem griffigen Asphaltboden und einem auf einem rutschigen, glatten Boden auszuprobieren. Ideal als rutschiger Boden ist natürlich Eis. Aber auch nasse Kacheln im Schwimmbad oder einem gefliesten Zimmer eignen sich gut. Man sollte aber auf jeden Fall sehr vorsichig üben, um Verletzungen durch Sturz oder umgeknicket Füße zu vermeiden.

Auf jeden Fall gilt: je griffiger der Boden, desto mehr Zentripetalkraft kann der Boden auf die Füße übertragen. Wie viel Kraft das genau ist, kann man über den sogenannten Haftreibungskoeffizienten abschätzen. Je größer er ist, desto mehr Kraft kann der Boden auf die Füße übertragen:

Gummi-Asphalt: 0,7 bis 0,9^[1]

Gummi-Eis: 0,2 []

Die maximale Kraft F, die dann in eine Richtung parallel zum Boden übertragen werden kann berechnet man über die Formel:

F = µ·N

Legende

F = die übertragene Kraft vom Boden auf den Kreisläufer, parallel zum Boden

µ = eigentlich mit tiefgestellten große H geschrieben Haftreibungskoeffizienten ↗

N = die senkrecht nach unten wirkende Gewichtskraft, die Normalkraft ↗

Eine Person von 60 kg hat auf der Oberfläche der Erde eine Gewichtskraft von etwa 600 Newton.^[2] Mit griffigen Gummisohlen auf Asphalt kann man dann bis zu 0,9 mal 600 Newton also rund 540 Newton an Kraft parallel zum Boden abstemmen. Bei einem Lauf auf Eis sind es nur 0,2 mal 600 Newton oder rund 120 Newton. Das heißt, dass man mit guten Gummisohlen selbst auf Eis so auf einem kleinen Kreis mit 0,5 Meter Radius laufen kann, dass man für einen Umlauf nur 2 Sekunden benötigt. Das erscheint mehr recht zweifelhaft. Ist das Eis schon etwas rauh oder angetaut mag das stimmen, aber für sehr glattes Eis kann ich mir das nur schwer vorstellen. Dies einmal auszuprobieren gehört sicherlich zu einem der zukünftigen Versuche, die noch anstehen. Mehr zur Physik dieses Experiments siche auf der Seite zum Kreis-Renn-Versuch ↗

Fußnoten

[1] Die Zahlenwerte zum Haftreibungskoeffizienten stammen aus: der Artikel "Haftreibung". Spektrum Lexikon der Physik. 6 Bände. Greulich, Walter (Hrsg.) Spektrum Akademischer Verlag. Heidelberg, Berlin. 1998-2000. Siehe auch Haftreibungskoeffizienten [Liste] ↗

[2] Masse mal Ortsfaktor oder Masse mal Erdfallbeschleunigung, also 60 kg mal 10 m/s² gibt die Gewichtskraft ↗