Basiswissen

Die einfachste Version des Kommutativgesetzes sagt: bei reinen Plus- oder reinen Malrechnungen darf man alle Zahlen beliebig untereinander vertauschen. Das Endergebnis bleibt dabei trotzdem immer dasselbe: 4+3 = 3+4 und 2·5 = 5·2. Bei der Subtraktion und Division hingegen kann sich das Ergebnis durch die Vertauschung verändern. Das Kommutativgesetz, auch Vertauschungsgesetz in seiner allgemeinsten Form gibt, welche Rechnungen kommutativ sind (und welche nicht).

Bildbeschreibung und Urheberrecht — Das Kommutativgesetz für die vier Grundrechenarten.☛

Die vier Grundrechenarten

Beim Addieren (plus) und beim Multiplizieren (mal) ist die Rechenreihenfolge vom Ergebnis her egal. Man darf die Zahlen der Rechnung beliebig vertauschen. Bei der Division darf man Dividenden beliebig vertauschen, niemals aber einen Dividenden mit einem Divisor. Und bei der Subtraktion darf man Subtrahenden untereinander beliebt vertauschen, niemals aber einen Subtrahenden mit einem Minuenden.

Beispiele

8+5+2 gibt 15. Und 8+2+5 gibt auch 15.

2·3·4 gibt 24. Und 2·4·3 gibt auch 24.

Schreibweise

Man kann schreiben: a·b = b·a

Und für die Addition: a+b = b+a

Übersicht

Kommutativ ist die Addition für natürliche Zahlen ↗

Kommutativ ist die Addition für ganze Zahlen ↗

Kommutativ ist die Addition für rationale Zahlen ↗

Kommutativ ist die Addition für reelle Zahlen ↗

Kommutativ ist die Addition für komplexe Zahlen ↗

Kommutativ ist die Multiplikation für natürliche Zahlen ↗

Kommutativ ist die Multiplikation für ganze Zahlen ↗

Kommutativ ist die Multiplikation für rationale Zahlen ↗

Kommutativ ist die Multiplikation für reelle Zahlen ↗

Kommutativ ist die Multiplikation für komplexe Zahlen ↗

Kommutativ ist die Multiplikation für skalares Produkt [Zahl mit Vektor] ↗

Kommutativ ist die das Skalarprodukt [Vektoren] ↗

Gegenbeispiele

Nicht kommutativ ist die Subtraktion ↗

Nicht kommutativ ist die Division ↗

Nicht kommutativ ist das Vektorprodukt ↗

Nicht kommutativ ist das Spatprodukt ↗

Nicht kommutativ ist Matrix mal Matrix ↗

Physik

In der Physik kann man bei mehreren hintereinander ausgeführten Handlungen oder Prozessen danach fragen, ob die Reihenfolge für das Endergebnis wichtig ist oder nicht. Nehmen wir ein klassisches Beispiel aus der Küche:

U₁: Man stellt einen leeren Kochtopf auf eine heiße Herdplatte im Betrieb.

U₂: Man schüttet 500 ml kaltes Wasser in den Kochtopf.

U₃: Man wartet bis die Flüssigkeit von Prozess 2 siedet.

U₄: Man schüttet 500 ml kaltes Öl in den Kochtopf.

Gießt man Ol in heißes Wasser, ist das Ergebnis recht undramatisch: das Öl schwimmt oben auf dem Wasser auf und wird dann langsam erhitzt. Aber gießt man Wasser in heißes Öl wird es gefährlich: das Wasser verdampft schlagartig und reißt damit heißes Öl mit gefährlichen Spritzern mit sich. Hier macht die Reihenfolge einen großen Unterschied im Endergebnis:

U₁U₂U₃U₄ -> nicht besonders gefährlich

U₁U₄U₃U₂ -> extrem gefährlich Erste Hilfe Verbrennung ↗

Dieses Beispiel aus dem Alltag zeigt, dass Vorgänge nicht automatisch kommutativ bezüglich des Ergebnisses sind. In der Physik sagt man auch, dass die Vorgänge dann nicht symmetrisch sind. Die Frage, ob Vorgänge oder Operationen in diesem Sinne kommutativ oder symmetrisch sind, spielt vor allem in der Grundlagenphysik, etwa der Quantenphysik, eine große Rolle.^[1]

Symbol und Sprache

Der Mathematiker Alfred North Whitehead (1861 bis 1947) sah einen großen Vorteil im Rechnen mit Symbolen und Buchstaben. Als Beispiel dafür wählte er das Kommutativgesetz. Typische Symbole in der Mathematik sind zum Beispiel Buchstaben. Man kann das Kommutativgesetzt mit Buchstaben oder auch in ganzen Sätzen schreiben. RWhiteheadhält die Symbolschreibweise für eine große Vereinfachung. Das Kommutativgesetz in der Symbolschreibweise nach Whitehead sieht so aus:

x+y = y+x

Dann fordert er dazu auf, diese Gleichung in Worten zu formulieren.^[3] Die Buchstabenschreibweise ist dann sehr viel langwieriger. Hier ist Whiteheads Vorschlag:

"Wenn eine zweite Zahl zu einer gegebenen Zahl addiert werden soll, ist das Ergebnis dasselbe wie bei der Addition der ersten gegebenen zur zweiten Zahl."^[2]

Whitehead führt zwei Argumente gegen diese Sprachfassung an: a) man kann den Sinn nicht auf einen Blick erkennen, und b) das Hinschreiben dauert viel zu lange.^[2] Auch wenn es also schwer ist, in den Schuljahren von der 5. bis zur 10. Klasse all die verschiedenen Symbolschreibweisen zu lernen, ist der Vorteil enorm. Man kann in Kürze sehr komplexe Gedanken kurz hinschreiben und für Leser auf einen Blick verständlich machen.

Persönliche Anmerkung

Das Wort Kommutativgesetz taucht in fast alle Mathebüchern aber der Klasse 5 auf. Ein Gesetz sollte eine klare Anweisung, ein ganzer Satz, eine klare Aussage sein. Man erkennt gut formulierte Sätze zum Beispiel daran, dass sie Anfangen mit "Dass so-und-so-Gesetzt besagt dass …" oder "Das Gesetz so-und-so lautet: …". Wo findet man solche klar ausformulierten Fassungen zum Kommutativgesetz? Offensichtlich sind die meisten Lehrbücher dem Sinn nach Whiteheads Empfehlung gefolgt. Man darf aber eines nicht vergessen: für viele Menschen ist die Sprache der wichtigste Schlüssel zum Verständnis. Und erst wenn ein Zusammenhang auch sprachlich gut verstanden ist, fällt bei vielen der vielbeschworene "Groschen". Also ja: die Symbolen sind gut, aber für Anfänger darf auf keinen Fall die Sprache vernachlässigt werden.^[3]

Fußnoten

[1] In der Physik kann man die Addition auch als eine Reihenfolge von hintereinander ausgeführten Operationen oder Handlungen deuten. Speziell zur sogenannten Superposition, das heißt der Überlagerung von Zuständen im Sinne der Quantenphysik heißt es: "The usual algebraic axioms of addition are assumed to hold, i. e. the commutative axiom c₁ψ₁ + c₂ψ₂ = c₂ψ₂ + c₁ψ₁ and the associative axiom (c₁ψ₁ + c₂ψ₂) + c₃ψ₃ = c₁ψ₁ + (c₂ψ₂ + c₃ψ₃). The first of these axioms implies that superposition of two states is a symmetrical process between them, which is obvious from the definition of §6, while the second implies the theorem, which was proved in §6, that in successive superpositions the order is unimportant." In: Paul Dirac: The Principles of Quantum Mechanics. Oxford University Press. 1930. Siehe auch Symmetrie (Physik) ↗

[2] Der Mathematiker und Logiker Alfred North Whitehead über den großen Nutzen der Schreibweise mit Buchstaben: "If anyone doubts the utility of symbols, let him write out in full, without any symbol whatever, the whole meaning of the following equations". Im Anschluss fügte Russel das Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz an. Für das Kommutivgesetz gab er als Sprachfassung: "If a second number be added to any given number the result is the same as if the first given number had been added to the second number." Und er hält den Umgang mit diesen Symbolen für recht einfach: "This example shows that, by the aid of symbolism, we can make transitions in reasoning almost mechanically by the eye, which otherwise would call into play the higher faculties of the brain." Und Whitehead wehrt sich gegen den landläufigen Allgemeinplatz, dass "It is a profoundly erroneous truism, repeated by all copy-books and by eminent people when they are making speeches, that we should cultivate the habit of thinking of what we are doing. The precise opposite is the case. Civilization advances by extending the number of important operations which we can perform without thinking about them. Operations of thought are like cavalry charges in a battle — they are strictly limited in number, they require fresh horses, and must only be made at decisive moments." An dieser Stelle eines kriegerischen Beispiels sei angemerkt, dass Whitehead im Ersten Weltkrieg den Kriegsdienst verweigert hatte und dafür ins Gefängnis ging. Ein großer Vorteil der Darstellung in Symbolen ist, dass man das Ganze schnell mit einem Blick erkennen kann und auch schnell aufschreiben kann: "One very important property for symbolism to possess is that it should be concise, so as to be visible at one glance of the eye and to be rapidly written." In: Alfred North Whitehead: An Introduction to Mathematics. London. WILLIAMS & NORGATE. Dort die Seite 46. Diese Empfehlung von Whitehead ist ein schönes Beispiel für die sogenannte Denkökonomie ↗

[3] Eine vehemente Vertreterin der großen Bedeutung der Sprache ist zum Beispiel die Didaktikerin Susanne Prediger. In verschiedenen Werken zeigt sie immre wieder auf, wie man Mathematik auch versprachlichen kann. Und sie zeigt an vielen Beispielen, dass dies für viele Schüler ein wichtiger Zugang ist. Siehe auch Rechnen und Sprache ↗