Division
Fachworte
Basiswissen
20:4=5 - die Idee des Teilens aus der Grundschule wird über das Wort Division erweitert. Dividieren bezieht sich nicht mehr nur auf natürliche Zahlen (1, 2, 3...) sondern auch auf Brüche, Dezimalzahlen, negative Zahlen und andere mathematische Objekte. Das ist hier kurz vorgestellt.
60 : 4 = 15
- Die 60 ist das was geteilt wird, sie ist der Dividend ↗
- Die 4 ist das wodurch geteilt wird, sie ist der Divisor ↗
- Die 15 ist das was rauskommt, sie ist der Quotientenwert ↗
- Die ganze Aufgabe, also 60:4 als Term heißt Quotient ↗
Welche Rechenzeichen gibt es für die Division?
Das übliche Rechenzeichen ist der Doppelpunkt[3]. Aber auch andere Zeichen wie zum Beispiel : ÷ / % ⁻¹ kommen als erlaubte Schreibweisen, man spricht auch von Notationen, vor. Siehe mehr dazu unter Geteiltzeichen ↗
Wie rechnet man eine Division?
Das anschauliche Dividieren aus der Grundschule wird später stark erweitert. Man dividiert dann zum Beispiel durch einen Bruch wie ⅛ oder Kommazahlen wie 0,0031 sowie auch Potenzen oder Wurzeln. Die verschiedenen Verfahren sind beschrieben im Artikel zum Dividieren ↗
Definition in höheren Mathematik
x/y := x:y := xy⁻¹ ist die Definition der Division nach dem Spektrum Lexikon der Mathematik[1]. Das heißt: die Division einer Zahl x durch eine Zahl y ist dasselbe wie die Multiplikation der Zahl x mit dem Kehrwert von y. Der Ausdruck y⁻¹ wird gesprochen als y hoch minus eins und steht für den Kehrwert von y. Beispiel: 16:8 ist dasselbe wie 16·⅛, also im Ergebnis die Zahl 2. Mit dieser Definition wird die Division zurückgeführt auf die Multiplikation. Siehe auch Kehrwert ↗
Fußnoten
- [1] Guido Walz: Spektrum Lexikon der Mathematik. Band 1. A bis Eif; 2000; ISBN: 3-8274-0303-0.
- [2] Division in einer Definition aus dem Jahr 1837: "Division, aus dem Lateinischen, heißt die Eintheilung und ist daher der Name der letzten von den als die vier Species bezeichneten Rechnungsarten, welche untersucht, wie vielmal eine Zahl, der Divisor, in einer andern, dem Dividendus, enthalten ist, oder diejenige Zahl, Quotient genannt, suchen lehrt, welche, mit dem Divisor multiplicirt, den Dividenden gibt." In: Brockhaus Bilder-Conversations-Lexikon, Band 1. Leipzig 1837., S. 576. Online: http://www.zeno.org/nid/20000822485
- [3] Division in einem Lexikon aus dem Jahr 1857: "Division, Theilung, in der Arithmetik diejenige Rechnung, welche untersucht, wie oft eine Zahl in einer anderen enthalten sei, oder wie viel mal eine Zahl größer sei als eine andere. Die Zahl, welche zu theilen ist, heißt Dividend, diejenige, mit der getheilt wird, Divisor, diejenige endlich, welche durch die D. gefunden wird u. angibt, wie oft der Divisor im Dividenden enthalten sei, Quotient. Der Dividend ist somit immer gleich dem Product aus dem Quotienten und dem Divisor. Die Bezeichnung der D. ist entweder ein Doppelpunkt zwischen Dividend und Divisor, 24 : 6 (24 dividirt durch 6), oder ein Querstrich zwischen beiden, der Dividend oben, 24/6." In: Herders Conversations-Lexikon. Freiburg im Breisgau 1854, Band 2, S. 411. Online: http://www.zeno.org/nid/20003303144
- [4] Division in einem Lexikon aus dem Jahr 1905: "Division (Teilung), umgekehrte Operation der Multiplikation. Ist a · b = c, so ist umgekehrt c/b = c : b – a; dabei heißt c Divident, b Divisor, a Quotient. Die beiden letzteren sind vertauschbar: c/a = b. Wenn aber c kein Vielfaches von b ist, so geht die Division nicht auf; es bleibt ein Rest r; es ist c/b = a + r/b Abgekürzte Division heißt ein Verfahren, bei dem von einer bestimmten Dezimale an alle folgenden abgeworfen werden."
- [5] Division in einem Lexikon aus dem Jahr 1906, der Punkt als Rechenzeichen ist ein Malzeichen: "Division (lat., »Teilung«), die letzte der vier Spezies oder Hauptrechnungsarten der Arithmetik, steht zur Multiplikation in demselben Gegensatz wie die Subtraktion zur Addition und löst die Aufgabe, eine Zahl (den Quotienten) zu finden, die mit einer gegebenen Zahl (dem Divisor) multipliziert eine andre gegebene Zahl (den Dividendus) liefert. Ist a der Divisor, b der Dividendus, so muß der gesuchte Quotient x die Gleichung: a.x = b oder, was dasselbe ist, x.a = b befreidigen; für den Quotienten selbst benutzt man das Zeichen b:a oder b/a, gelesen b dividiert durch a oder kürzer b durch a. Sind a und b Zahlen der natürlichen Zahlenreihe 1, 2, 3 ..., so bildet man, um den Quotienten zu berechnen, die Zahlen 1.a, 2.a, 3.a, ...; ist b unter diesen Zahlen enthalten, etwa b = m.a, wo m eine der Zahlen 1, 2, 3 ... ist, so sagt man: die D. geht auf, b ist durch a teilbar und der gesuchte Quotient b:a = m; so ist z. B. 60:5 = 12. Kommt b unter den Zahlen 1.a, 2.a, ... nicht vor, so kann die D. innerhalb des Gebietes der natürlichen Zahlen nicht ausgeführt werden, sie führt auf einen sogen. Bruch (s. d.). Man kann dann nur sagen, daß b zwischen zwei aufeinanderfolgenden Zahlen der Reihe 1.a, 2.a, ... liegt, etwa zwischen m.a und (m+1).a, und findet: b = m.a+b´, wo b´ größer als Null, aber kleiner als a ist. Nunmehr ergibt sich: b/a = m+b´/a, wo b´/a ein sogen. echter Bruch ist. Die Zahl m heißt der Quotient der D. und b´ der zugehörige Rest. Z.B. ist 23 = 4.5+3, also 23/5 = 4+3/5, 4 der Quotient der D. und 3 der Rest. Weiteres s. Bruch, S. 471, und Bruchrechnung." In: Meyers Großes Konversations-Lexikon, Band 5. Leipzig 1906, S. 64. Online: http://www.zeno.org/nid/20006498965
- [6] Division in einem Lexikoin aus dem Jahr 1911: "Division (lat.), Teilung, eine der vier Grundrechnungen, welche finden lehrt, wie oft eine Zahl (Divīsor) in einer andern (Dividendus) enthalten ist. Die gefundene Zahl heißt Quotient. Das Zeichen der D. ist ein Doppelpunkt oder ein horizontaler oder schräger Strich zwischen Dividendus und Divisor, z.B. 12: 3 oder 12/3." In: Brockhaus' Kleines Konversations-Lexikon, fünfte Auflage, Band 1. Leipzig 1911., S. 443. Online: http://www.zeno.org/nid/2000105189X