Matrix mal Matrix
Rechenverfahren
Basiswissen
Hat man zwei Matrizen und ist Breite der linken Matrix gleich der Höhe der rechten Matrix, dann kann man die zwei Matrizen miteinander multiplizieren, ansonsten aber nicht. Hier ist Schritt-für-Schritt erklärt, wie man zwei Matrizen miteinander multipliziert.
Voraussetzungen prüfen
Die Breite der linken Matrix muss gleich der Höhe der rechten Matrix sein. Ist das der Fall, kann man die Multiplikation durchführen. Ist das nicht der Fall, schreibt man, dass die Multiplikation nicht durchführbar oder nicht definiert ist.
Erster Schritt der Matrizenmultiplikation
- Nimm die erste Spalte der rechten Matrix.
- Fasse sie gedanklich oben mit der linken ...
- und unten mit der rechten Hand an.
- Drehe sie gedanklich linksherum bis sie waagrecht liegt.
- Lege sie dann auf die erste Zeile der linken Matrix.
- Jetzt liegen immer zwei Zahlen direkt übereinander.
- Multipliziere alle Zahlen, die so als Paar übereinander liegen.
- Addiere die Ergebnisse der Multiplikation.
- Das Ergebnis schreibst du in die Ergebnismatrix.
- Und zwar in die erste Spalte der ersten Zeile.
Zweiter Schritt der Matrizenmultiplikation
- Nimm die zweite Spalte der rechten Matrix.
- Führe sie gedanklich über die zweite Zeile der ersten Matrix.
- Berechne das Ergebnis wie im ersten Schritt.
- Das Ergebnis kommt in die zweite Spalte der ersten Zeile.
Verallgemeinerung der Matrizenmultiplikation
- Man kann dieses Vorgehen verallgemeinern:
- Wenn man die n-te Spalte der rechten Matrix multipliziert ...
- mit der dre m-ten Zeile der linken Matrix, dann kommt das ...
- Ergebnis in die n-te Spalte und m-te Zeile der Ergebnismatrix.
Kommutativität
- Bei der Multiplikation von Matrizen spielt die Reihenfolge eine Rolle.
- Die Matrix A mal der Matrix B ist nicht automatisch dasselbe wie B mal A.
- Die Multiplikaton von Matrizen fällt nicht unter das Kommutativgesetz ↗
Der Strassen-Algorithmus für Matrizen
Die Regeln, wie man Matrizen miteinander multipliziert sind nicht sehr schwer zu erlernen. Sie aber anzuwenden wird für größere Matrizen sehr schnell sehr aufwändig. Viele Computerprogramme, etwa zur Mustererkennung oder zum Abzählen von Pfaden durch einen Graphen (mit Kanten und Knoten) verwenden die Multiplikation von Matrizen. Im Jahr 1969 stellte der Mathematiker Volker Strassen ein Verfahren vor, wie man für die Multiplikation von 2x2 Matrizen die Anzahl der Multiplikationen von 9 auf 7 reduzieren[1]. Dazu mussten sozusagen als Preis 11 zusätzliche Addition durchgeführt werden. Das lohnt sich aber bei sehr großen Matrizen. Der Strassen-Algorithmus wird heute von vielen Computerprogrammen genutzt. Inzwischen wurden weitere Algorithmen zur schnelleren Multiplikation von Matrizen vorgestellt. Das Problem gilt innerhalb der Mathematik als eine offene Forchschungsfrage.
Fußnoten
- [1] Volker Strassen: Gaussian Elimination is not Optimal. In: Numerische Mathematik, Band 13, 1969, S. 354–356, ISSN 0029-599X. doi:10.1007/BF02165411.