Lokaler Hochpunkt
Definition
Basiswissen
Ein lokaler Hochpunkt, auch globaler Hochpunkt genannt, ist ein Punkt auf einem Funktionsgraphen, dessen unmittelbaren Nachbarn alle tiefer liegen.
Wie ist lokaler Hochpunkt exakt definiert?
- Mit Hilfe der epsilon-Umgebung:
- Ein Hochpunkt ist ein Punkt, in dessen epsilon-Umgebung keine höheren Punkte liegen.
- Das heißt, wenn man eine beliebig kleine Umgebung links und rechts ...
- von dem Hochpunkt finden kann, in der alle anderen Werte tiefer sind, ...
- dann war der untersuchte Punkt auch ein Hochpunkt.
- Mehr dazu unter epsilon-Umgebung ↗
Welche Eigenschaften hat ein lokaler Hochpunkt?
- Bei einer Parabel heißt der lokale Hochpunkt Scheitelpunkt.
- Allgemein (nicht nur für Parabeln) gilt:
- Die Steigung ist immer Null.
- Die Tangente verläuft dort waagrecht.
- Die erste Ableitung ist dort Null.
- Die zweite Ableitung ist dort negativ.
Kann ein Graph mehrere lokale Hochpunkte haben?
- Ja. Die Sinusfunktion hat unendlich viele Hochpunkte.
- Auch ganzrationale Funktionen ab dem Grad 4 können mehrere HP haben.
Was sind typische Funktionen mit lokalen Hochpunkten?
Wofür sind lokale Hochpunkte wichtig?
- In der Schulmathematik kommen sie bei Kurvendiskussion vor.
- Eine wichtige praktische Anwendung sind Optimierungsaufgaben.
- Das sind Aufgaben, bei denen irgendwas möglichst groß sein soll.
- Man kann bei einer Firma versuchen, den Gewinn möglichst groß zu machen.
- Bei einer Flugzeugkonstruktion soll vielleicht die Reichweite möglichst groß sein.
- Bei einer Medizin kann die Wirkungsdauer möglichst gut optimal sein.
- Siehe mehr dazu unter Extremwertaufgaben über Analysis ↗
Begriffe
- Der y-Wert von einem lokalen Hochpunkt heißt lokales Maximum ↗
- Der x-Wert von einem lokalen Hochpunkt heißt lokale Hochstelle ↗
