LGS
Übersicht lineare Gleichungssysteme
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- 2025
Basiswissen｜
Was ist ein Lineares Gleichungssystem (LGS)?｜
Was wäre ein Beispiel?｜
LGS mit 2 Gleichungen｜
LGS mit 3 Gleichungen oder mehr｜
Zum Beispiel eine Hartblei-Legierung｜
Was war der Analytical engine?
Basiswissen
LGS ist die übliche Abkürzung für ein Lineares Gleichungssystem. Ein LGS besteht aus mehreren linearen Gleichungen für die man eine einzige gemeinsame Lösung sucht. Es gibt verschiedene Arten und Lösungsverfahren, die hier kurz vorgestellt werden.
Was ist ein Lineares Gleichungssystem (LGS)?
- Ein lineares Gleichungssystem besteht aus zwei oder mehr linearen Gleichungen.
- Jede dieser Gleichungen kann eine oder mehr Unbekannte enthalten.
- Die selben Unbekannten kommen dabei bei mehreren Gleichungen vor.
- Sucht man für die Unbekannten Zahlenwerte, die alle Gleichungen gleichzeitig lösen,
- dann nennt man die Gleichungen zusammen ein lineares Gleichungssystem.
Was wäre ein Beispiel?
- Man hat die Gleichung y=2x+12
- Und man hat die Gleichung: y=3x+9
- Das Zahlenpaar x=1 und y=14 löst die erste Gleichung.
- Das Zahlenpaar x=2 und y=15 löst die zweite Gleichung.
- Das Zahlenpaar x=3 und y=18 löst beide Gleichungen.
- x=3 und y=18 ist die Lösung des LGS.
LGS mit 2 Gleichungen
LGS mit 3 Gleichungen oder mehr
Ab drei Gleichungen mit insgesamt 3 Unbekannten sind das Additions-, Gleichungsetzungs- und Einsetzungverfahren zwar immer noch möglich, aber diese Verfahren werden dann sehr aufwändig und unübersichtlich. Ein häufig genutztes Lösungsverfahren ist der Gauß-Algorithmus.
Zum Beispiel eine Hartblei-Legierung
Im Jahr 2025 kaufte ich für die Lernwerkstatt in Aachen eine Kugel aus Blei. Obwohl sie einen Durchmesser von nur 6,4 Zentimetern hatte, war sie mit 1505 Gramm Gewicht doch sehr schwer. Tatsächlich bestand die Kugel aber aus einer Legierung aus den Metallen Blei und Antimon. Blei hat eine sehr hohe Dichte von rund 11,34 Gramm für jeden Kubikzentimeter. Antimon liegt mit nur 6,684 Gramm pro Kubikzentimeter deutlich darunter. Mit diesen Angaben kann man ausrechnen, aus wie vielen Gramm Blei und aus wie vielen Gramm Antimon die Legierung der Kugel zusammengesetzt war. Es gibt verschiedene Lösungsmöglichkeiten. Eine davon ist es, zunächst zwei Bedingungen aufzustellen, die dann ein lineares Gleichungssystem geben. Für ältere Schüler lohnt es sich, die Aufgabe einmal ganz alleine ohne fremde Hilfe anzugehen. Die Lösung ist kurz skizziert in WH54 20250403 Inventar Bleikugel (externer Link)
Was war der Analytical engine?
Von Hand sind lineare Gleichungssysteme oft nur mit großem Zeitaufwand zu lösen, obwohl die einzelnen Rechenschritte stur einem Mechanismus folgten. Es war naheliegend, dass man dafür theoretisch auch ein mechanisches Gerät entwickeln könnte. Dies gelang dem englischen Mathematiker Charles Babbage fast: im Jahr 1837 veröffentlichte die Konstruktionsanleitung für eine entsprechende Rechenmaschine. Da die Präzionsanforderungen aber zu seiner Zeit nicht erfüllt werden konnten, blieb die Maschine trotz enormer Fördergelder ungebaut. Lies mehr unter Analytical engine ↗