Basiswissen

Wozu ist das Additionsverfahren gut?

• Mit kann man einfache lineare Gleichungssysteme (LGS) lösen.
  

• Einfach meint hier: man hat zwei Gleichungen.
  

• In jeder Gleichung gibt es zwei Unbekannte.
  

• Die Unbekannten heißen meistens x und y.
  

Was meint "LGS lösen"?

• Das meint, dass man eine Lösung finden soll, ...
  

• die für beide Gleichungen des LGS passt.
  

• Mehr unter LGS lösen ↗
  

Wie geht das Additionsverfahren?

1. Hinschreiben

• Man schreibt beide gegebenen Gleichungen untereinander.
  

• Die obere Gleichung nennt man (römisch) I.
  

• Die untere Gleichung nennt man (römisch) II.
  

• Beispiel:
  

• I -2x=-2y+8
  

• II 3y=4x+10
  

2. Gleichungen sortieren

• Bei beiden Gleichungen müssen die Unbekannten ...
  

• in derselben Reihenfolge aufgeschrieben sein.
  

• Wenn das noch nicht so ist, dann erst umformen:
  

• Die zwei Gleichungen oben muss man also erst
  

• umformen in die richtige Reihenfolge:
  

• I 2y=2x+8
  

• II 3y=4x+10
  

3. Wichtige Fachworte

• Ziel ist es gleich eine Unbekannte verschwinden zu lassen.
  

• "Verschwinden lassen" heißt hier "eliminieren".
  

• Es ist egal, ob man x oder y eliminiert.
  

• Man wählt die Unbekannte, bei der es einfacher geht.
  

• Dazu betrachtet man die Koeffizienten der Unbekannten.
  

• Die Koeffizienten sind die Zahlen direkt vor den Unbekannten.
  

• Bei 3y=4x+10 wären die 3 und die 4 die Koeffizienten.
  

• Tipp: y ist wie 1y und x ist wie ein x.
  

4. Unbekannte zum Eliminieren aussuchen

• Man betrachtet sich erst die Koeffizienten von x:
  

• I: 2y=2x+8 und II 3y=4x+10
  

• Das wären hier die 2 (Gleichung I) und die 4 (Gleichung II).
  

• Ist der eine Koeffizient ein leicht erkennbares Vielfache ...
  

• vom anderen Koeffizienten, kann man diese Variable gut eliminieren.
  

• Hier ist die 4 das "Zweifache" von der 2. "x" kann man also gut eliminieren.
  

• (Wäre das nicht so, müsste man beim y sehen, ob es dort passt.)
  

5. Gleichung koeffizientengleich machen

• Lies vielleicht erst nach unter Koeffizientengleich ↗
  

• Für die ausgesuchte Unbekannte x müssen die Koeffizienten gleich sein.
  

• Dazu darf man ganze Gleichungen mit einer beliebigen Zahl multiplizieren.
  

• Wenn wir die Gleichung I mit 2 malnehmen, wird der x-Koeffizient zu 4.
  

• Also: I 2 multiplizieren, II lassen und alles neu hinschreiben:
  

• I 2y=2x+8 | · 2
  

• II 3y=4x+10
  

• I 4y=4x+16
  

• II 3y=4x+10
  

6. Eine Gleichung negieren

• Negieren heißt hier "Vorzeichen umkehren".^[1]
  

• (Vorzeichen umkehren macht aus - ein + und aus + ein -)
  

• In der einen Gleichung muss der gewählte Koeffizient positiv sein.
  

• In der anderen Gleichung muss er negativ sein.
  

• Wenn das schon so ist, kann man diesen Schritt überspringen.
  

• Ansonsten: eine der Gleichungen mit -1 malnehmen.
  

• Das machen wir hier mit Gleichung I:
  

• I 4y=4x+16 | ·(-1)
  

• II 3y=4x+10
  

• I -4y=-4x-16
  

• II 3y=4x+10
  

7. Gleichungen addieren

• Jetzt werden beide Gleichungen addiert.
  

• Das Ergebnis ist eine einzelne neue Gleichung.
  

• Man addiert dabei für x und y und die reinen Zahlen getrennt.
  

• Wir nennen diese Gleichung römisch III.
  

• I -4y=-4x-16
  

• II 3y=4x+10
  

• Man rechnet: -4y+3y sowie -4x+4x sowie -16+10
  

• Das gibt III: -1y=0x-6
  

• 0x kann man auch weglassen.
  

• Das war das Ziel: x eliminieren.
  

8. Römisch III lösen

• Jetzt hat man eine Gleichung mit einer Unbekannten.
  

• Römisch III hat nur noch das y als Unbekannte.
  

• Diese Gleichung nach y auflösen:
  

• III -1y=-6 | :(-1)
  

• III y=6
  

9. Lösung in eine Ursprungsgleichung einsetzen

• Wir wissen jetzt, dass y=6 sein muss.
  

• Wir setzen die 6 in eine der beiden Ausgangsgleichung ein.
  

• Welche Ausgangsgleichung wir nehmen ist egal.
  

• Wir nehmen hier I, mit y=6 gibt das dann:
  

• I 2·6=2x+8
  

10. Ursprungsgleichung lösen

• I 2·6=2x+8 | -8
  

• I 4=2x | :2
  

• I 2=x
  

11. Antwort hinschreiben

• x=2 und y=6 ist die Lösung, die für beide Gleichungen passt.
  

• Oft wird die Lösung auch so aufgeschrieben: (2|6).
  

Geht das Additionsverfahren immer?

• Ja, aber es ist manchmal aufwändig.
  

• Ob es leicht geht, hängt von den Zahlen der Gleichungen ab.
  

• Das Additionsverfahren geht aber oft sehr gut.
  

• Wenn man gut ist, braucht man für die Aufgabe oben etwa 30 Sekunden.
  

Gibt es Alternativen zum Additionsverfahren?

Fußnoten

• [1] Wenn man das Negieren der Gleichung weglässt, so kann man statt zwei Zeilen zu addieren, zwei Zeilen voneinander abziehen. Aus dem Additionsverfahren wird dann so ein Subtraktionsverfahren. In beiden Fällen fällt durch disen Schritt eine Unbekannt weg.