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Winkel zwischen Vektoren und Ebenen


Vektorrechnung


Grundidee


Angenommen, ein Vektor wird in seiner Lage zu einer gegebenen Ebene betrachtet. Beide Objekte sind üblicherweise in einem 3D-Koordinatensystem dargestellt. Man kann dann einen Schnittwinkel definieren und über gegebenen Gleichungen diesen Winkel auch berechnen. Beides ist hier kurz vorgestellt.

Definition des Winkels


Als Winkel zwischen einem Vektor und einer Ebene ist der kleinstmögliche Winkel definiert, den man zwischen dem gegebenen Vektor und der Ebene auswählen kann. Dazu denkt man sich den so verschoben, dass er die Ebene schneidet und mir ihr einen Schnittwinkel bildet.

Berechnung des Winkels zwischen Vektor und Ebene


Man berechnet den Winkel zwischen dem gegebenen Vektor und einem Normalenvektor der Ebene. Dann rechnet man 90° minus diesen Winkel. Das Ergebnis ist der gesuchte Winkel zwischen dem gegebenen Vektor und der gegebenen Ebene.

Wie findet man einen Normalenvektor?



Wie berechnet man den Winkel zwischen Vektoren?


Für die Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren gibt es eine Standard-Formel. Diese Formel verwendet das Skalarprodukt und die Cosinusfunktion. Der Winkel ist der Arcuscosinus (cos hoch -1) des Quotienten aus dem Skalarprodukt der beiden Vektoren und dem Produkt der beiden Vektorbeträge. Das ist ausführlich erklärt unter Winkel zwischen Vektoren ↗

Was ist der letzte Rechenschritt?


Hat man den Winkel zwischen einen Normalenvektor der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden berechnet, zieht man diesen Winkel am Ende nur noch von 90° ab. Man rechnet als 90° minus den vorher gefunden Winkel. Das Ergebnis dieser Rechnung ist dann der gesucht Winkel zwischen der Geraden und der Ebene.