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Normalenformen der Ebene


Vektorrechnung


Basiswissen


Ebenengleichung mit einem Vektor senkrecht auf der Ebene: hier werden verschiedene - untereinander sehr ähnliche - Schrweibweisen kurz vorgestellt. Die grundlegende Idee ist immer, dass man einen Vektor definiert der senkrecht auf der Ebene steht und einen Vektor - oder besser eine Vektordifferenz - der oder die ganz in der Ebene liegt. Das ist hier mit Beispielen weiter erklärt.

Allgemeine Form


x·n = p·n oder auch x·n = d: das x steht für einen variablen Ortsvektor auf beliebige Punkte auf der Ebene. Das kleine n steht für einen beliebigen Vektor senkrecht auf der Ebene. Das ist der sogenannte Normalenvektor, auch Lotvektor genannt. Das kleine p steht für einen festen Ortsvektor auf einen Punkt der Ebene. Der Punkt zwischen den Buchstaben ist der Multiplikationspunkt für das Skalarprodukt. Kennt man einen Punkt auf der Ebene, kann die rechte Seite der Gleichung als Skalarprodukt berechnet werden. Rechts vom Gleichzeichen steht dann eine Zahl. Mehr unter Allgemeine Normalenform der Ebene ↗

Punkt-Normalenform


(x-p)·n = 0: das x ist ein variabler Ortsvektor zu beliebigen Punkten auf der Ebene. p ist ein Ortsvektor zu einem festen Punkt der Ebene. n ist de Normalenvektor, das ist irgendein beliebiger Vektor der senkrecht auf der Ebene steht. Die Differenz x-p in der Klammer ergibt immer einen Vektor parallel zur Ebene. Dieser steht automatisch immer senkrecht auf n. Deshalb ergibt das Skalarprodukt aus dem Differenzenvektor und n immer 0. Mehr unter Punkt-Normalenform der Ebene ↗

Hessesche Normalenform


x·n = d: das x ist ein variabler Ortsvektor zu beliebigen Punkten auf der Ebene. n ist ein beliebiger Vektor senkrecht auf der Ebene und mit der Länge 1. d ist der Abstand der Ebene zum Koordinatenursprung. Mehr unter Hessesche Normalenform der Ebene ↗