Basiswissen

³4 ist eine sogenannte Tetration, auch Hyperpotenz [][] genannt. und gibt ausgeschrieben „4 hoch 4 hoch 4“: bei einer Tetration baut man aus einer einzigen Zahl einen Potenzturm auf. Diese Zahl war im Beispiel die 4. Das ist hier kurz vorgestellt.

Beispiel einer Tetration

Die übliche Schreibweise für eine Tetration ³a. Das heißt ausgeschrieben a^a^a, also a-hoch-a-hoch-a. ³4 wäre also ausgeschrieben 4^4^4. Das ist auch ein sogenannter Potenzturm. Potenztürme rechnet man von rechts nach links oder von oben nach unten. 4^4^4 gibt also 4^256. Und 4^256, also 4 hoch 256, gibt ausgerechnet 1,3407807929943E+154. Das ist die Zahl 1,3407807929943 gefolgt von 154 Nullen. Der Term xˣ als Tetration geschrieben ist ²x. Für x=5 ergibt sich dann ²5 oder 5⁵, was ausgerechnet 625 gibt. Für diesen vergleichsweise einfachen Fall siehe auch x hoch x ↗

Warum wird x hoch x in der Schule nicht behandelt?

Die Tetration führt zu oft chaotischen Funktionen mit sehr schwer vorhersagbarem Verhalten und großen Problemen bei der Berechnung. Man findet dazu einiges an wissenschaftlicher Literatur, aber normalerweise nicht im Zusammenhang mit der Schulmathematik oder der angewandten Mathematik (Ingenieurweisen, Naturwissenschaften) an Hochschulen. Man denke nur an den Fall, was genau ³(-0,2), ausgeschrieben also -0,2 hoch -0,2 hoch -0,2 als Wert ergeben soll um ein erstes Gefühl für die Problematik zu bekommen.

Zur Namensgebung

Das Wort Tetration mit der hier erklärten Bedeutung wurde 1947 vorgeschlagen^[1]. Auch das englische Wort Superexponentiation^[2] wurde verwendet. Das englisch Wort hyperpower konnte sich jedoch nicht durchsetzen^[3].

Fußnoten

[1] R. L. Goodstein (1947). "Transfinite ordinals in recursive number theory". Journal of Symbolic Logic. 12 (4): 123–129. doi:10.2307/2266486. JSTOR 2266486. S2CID 1318943

[2] N. Bromer (1987). "Superexponentiation". Mathematics Magazine. 60 (3): 169–174. doi:10.1080/0025570X.1987.11977296. JSTOR 2689566

[3] F. MacDonnell (1989). "Somecritical points of the hyperpower function x x … x^{x^{dots }}". International Journal of Mathematical Education. 20 (2): 297–305. doi:10.1080/0020739890200210. MR 0994348.

[4] Daniel Kraft: Ein rekursives Axiomensystem zur Definition der natürlichen Zahlen und Grundrechnungsarten. Fachbereichsarbeit Mathematik. Vorgelegt bei Magister Horst Paar. 2005/6. Dort das Kapitel 4.1 "Die Hyperpotenz" ab Seite 40. Dort wird beispielsweise 2ₒ₃3 = 2 hoch 2 hoch 2 = 16 angegeben.