Strahlensatz

Geometrie

Basiswissen｜ Definition｜ Der Strahlensatz liefert ähnliche Dreiecke｜ Der Strahlensatz und Proportionalität｜ Was meint "Strahl"?｜ Was sind "entsprechende Seiten"｜ Rechnen über den Streckungsfaktor｜ Rechnen über innnere Verhältnisse｜ Versuche zum Strahlensatz｜ Praktischer Nutzen｜ Fußnoten

Basiswissen

Der Strahlensatz, in vielen Büchern ist auch von zwei Strahlensätzen die Rede, wird hier so erklärt, dass man ihn möglichst aus (zumindest theoretisch) bekannten Themen herleiten kann: der Idee der Ähnlichkeit, der Verhältnisse (Proportionalität), einem gute Verständnis von Vielfachen und dem Wort entsprechen.

Bildbeschreibung und Urheberrecht — Der Strahlensatz sagt, dass unter der gegebenen Situation immer zwei zueinander ähnliche Dreiecke entstehen. Und für zueinander ähnliche Dreicke kann man recht einfach noch unbekannte Längen von Seiten aus bekannten (gegebenen) Längen berechnen.☛

Definition

Hat man zwei Geraden, die sich irgendwo kreuzen, und lässt man dann zwei weitere, zueinander parallele Gerade diese zwei ersten Geraden kreuzen, dann entstehen daraus (fast)^[2] immer zwei zueinander ähnliche Dreiecke. Und für ähnliche Dreicke kann man oft leicht die unbekannten Längen von Seiten berechnen, wenn man die Längen von zwei anderen Seiten kennt.

Der Strahlensatz liefert ähnliche Dreiecke

Wer die Grundidee mit den zwei sich kreuzenden Geraden und den zwei parallelen Geraden begriffen hat, kann diesen Abschnitt hier überspringen. Er geht auf einen Sonderfall ein, bei dem der Strahlensatz nicht sinnvoll zustande kommt.

Zuerst zeichnet man zwei Geraden, die sich schneiden.

Diese nennen wir die Kreuzgeraden.

Dadurch entsteht eine X-Figur.

Man stellt sich das X als unendlich lang vor.

Jetzt zeichnet man zwei andere Geraden.

Diese zwei weiteren Geraden sollen zueinander parallel und verschieden sein.

Diese zwei Geraden nennen wir hier kurz die Parallelen.

Man muss dabei zwei Bedingungen einhalten, dass am Ende zwei ähnliche Dreiecke entstehen:

I Keine der zwei Parallelen darf durch den Kreuzungspunkt des X gehen.

II Keine der zwei Parallelen darf parallel zu einer der zwei Kreuzgeraden sein.

Es ist ansonsten völlig egal, wo die zwei parallelen Geraden liegen.

Es werden dann am Ende immer zwei Dreiecke in dem Bild entstanden sein.

Und diese Dreiecke sind immer ähnlich zueinander.

Ähnlich heißt: sie haben auf jeden Fall dieselbe Form.

Sie dürfen aber unterschiedlich groß sein.

Siehe auch 👉 Ähnlichkeit

Der Hinweis zu den zwei Randbedingungen stammt von Kai Kuckelkorn, Dezember 2025

Die Bedingung, dass keiner der zwei Parallelen nicht gleichzeitig auch parallel zu einer der zwei Kreuzgeraden sein darf, findet man in gängigen Lehrwerken nicht ausdrücklich mit angegeben. Die Einschränkung macht aber Sinn, wenn die vier gezeichneten Geraden zuverlässig immer zwei ähnliche Dreiecke ergeben sollen. Die Einschränkung ist wohl zumindest teilweise in der Aussage mit enthalten, dass die zwei zueinander parallelen Geraden die zwei sich kreuzenden Geraden schneiden.^[2]

Der Strahlensatz und Proportionalität

Proportionalität erkennen

Hat man nun zwei Dreiecke die zueinander ähnlich sind, dann gilt immer: einander entsprechende Seiten sind von ihren Längen her immer proportional: wenn eine Seite aus dem großen Dreieck doppelt so groß ist wie ihre entsprechende im kleinen Dreieck, dann sind alle Seiten aus dem großen Dreieck doppelt so groß wie ihre entsprechenden Seiten im kleinen Dreieck. Erkennt man die Proportionalität der Längen, hat man den Kern aller Rechenaufgaben verstanden. Im Zusammenhang mit dem Strahlensatz wird jedoch oft nicht von proportionalen Seiten gesprochen, sondern von Seiten, deren Längen immer in denselbem Verhältnis stehen. Das wird weiter unten besprochen. Zunächst werden einige häufig verwendete Worte kurz erklärt.

Was meint "Strahl"?

In der Geometrie ist ein Strahl immer eine gerade Linie.

Ein Strahl hat einen Anfangspunkt aber keine Ende.

Für einen Strahlensatz ist es aber nur wichtig, dass die Linie gerade ist.

Es ist egal, ob sie unendlich oder begrenzt ist.

Beim Strahlensatz kann man die zwei sich kreuzenden Geraden auch als vier Strahlen auffassen: stellt man sich den Kreuzungspunkt als Lichtquelle vor, gehen von dieser Lichtquelle vier Strahlen aus.

Vielleicht stammt das Wort Strahlensatz aus einer Zeit, als die Überlegungen nahe am Sinnbild von Lichtstrahlen gemacht wurden? Für die Mathematik ist die Idee unwichtig, dass ein Strahl irgendwo einen Anfang aber kein Ende hat. Besser ist es, man spricht von zwei Geraden. Geraden haben weder einen Anfang noch ein Ende, sie gehen in beide ihre Richtungen "unendlich weiter" (zumindest gedanklich). Siehe auch 👉 Strahl

Was sind "entsprechende Seiten"

Bei vielen Erklärungen zum Strahlensatz und zu ähnlichen Dreiecken ist oft von "entsprechenden Seiten" die Rede. Das ist ein wichtiger Begriff, der hier Schritt-für-Schritt erklärt werden soll.

Wenn zwei Seiten ähnlich sind, haben sie dieselbe Form.

Man kann die Dreiecke gedanklich immer so legen, dass jede Seite des einen Dreiecks eine zu ihr parallele Seite aus dem andreren Dreieck hat.

Eine Seite aus dem einen und eine zu ihr parallele Seite aus dem anderen Dreieck sind dann zwei sich "entsprechende Seiten".

Die Seiten entsprechen sich auch dann noch, wenn man die Dreiecke wieder anders legt oder zueinander verdreht.

Oft macht man sich entsprechende Seiten auch über ähnliche Benennungen deutlich. Wenn a, b und c zum Beispiel die Seiten in einem Dreieck sind, dann bezeichnet man die Seiten im anderen Dreieck gerne als a', b' und c'. Man liest: a-Strich, b-Strich und c-Strich und spricht auch von "gestrichenen Größen".

Rechnen über den Streckungsfaktor

Oft der einfachste Weg

Weiß man, dass zwei Dreiecke zueinander ähnlich sind, sie also dieselbe Form haben, dann hilft das oft dabei noch unbekannte Längen von manchen Seiten zu berechnen. Sehr einfach geht das, wenn man den Vergrößerungsfaktor vom kleinen hin zum großen Dreieck kennt. Den Vergrößerungsfaktor kann man sehr leicht berechnen, wenn man die Länge von einer Seite aus dem kleinen Dreieck und die Länge der entsprechenden Seite aus dem großen Dreieck kennt. Der Vergrößerungsfaktor ist dann die gesuchte Malzahl (Faktor), mit der man die kleine Länge multiplzizieren muss, um die große Länge zu bekommen.

Man hat zwei zueinander ähnliche Dreiecke.

Eine Seite a im kleinen Dreieck sei 4 cm lang.

Die entsprechende Seite a' im große Dreieck sei 6 cm lang.

Womit muss man die kleine Seite malnehmen, um die große Seite zu bekommen?

Konkret: 4 mal was gibt 6? Lösen als Umkehraufgabe

6:4 gibt die Antwort auf 4 mal was ist 6: 1,5

Der Vergrößerungsfaktor k ist also 1,5. ✓

Und dieser Vergrößerungsfaktor gilt dann auch für die anderen Seiten. Man kann verallgemeinern und sagen: wenn die Seite a' genau 1,5 mal so groß ist wie a, dann sind alle Seiten im großen Dreieck 1,5 mal so groß wie ihre entsprechenden Seiten im kleinen Dreieck.

MERKSATZ:

Suche eine Seite mit bekannter Seitenlänge im kleinen Dreieck, von der die Länge der entsprechenden Seite im großen Dreieck bekannt ist. Teile die Länge aus dem großen durch die Länge im kleinen Dreieck. Das Ergebnis ist der Streckungsfaktor. Dieser gilt dann auch für die anderen Seiten.

Man kann diese Logik in umgekehrter Richtung gedacht auch vom großen ins kleine Dreieck anwenden. Dann kann man den Faktor als Verkleinerungsfaktor bezeichnen: große Seite mal was gibt die kleine Seite? Hier muss man gut das Denken in Dezimalzahlen als Multiplaktoren können, etwa: 9 mal was gibt 4? Das Ergebnis wird eine Null-Komma-Zahl sein. Man kann das formal lösen als Gleichung: 9·x=4. Das gibt: x=4/9 oder etwa 0,44. Siehe mehr unter 👉 Dezimalzahl als Multiplikator

Rechnen über innnere Verhältnisse

Um von einem Dreieck ins andere "hinüber zu rechnen", benötigt man immer mindestens die Längen von zwei sich entsprechende Seiten. Damit könnte man theoretisch immer auch wie im Abschnitt oben beschrieben über den Vergrößerungsfaktor vorgehen. Oft ist aber eine zweite Methode genauso gut und manchmal auch schneller. Wenn a, b und c die Seiten im einen Dreieck und a', b' und c' die Seiten im anderen Dreieck sind, dann gilt immer:

a:b = a':b'

a:c = a':c'

b:c = b':c'

b:a = b':a'

c:a = c':a'

c:b = c':b'

Hier gibt es ein allgemeines Muster: wenn man zwei Seiten aus einem Dreieck durcheinander teilt, dann erhält man immer dasselbe Ergebnis wie beim Teilen der zwei entsprechenden Seiten aus dem anderen Dreieck. Es ist dabei egal, welches der Dreiecke das größere und welches das kleinere ist. Mathematisch formuliert man dann:

MERKSATZ:

"Das Verhältnis von zwei Seiten in einem Dreieck ist gleich dem Verhältnis der entsprechenden Seiten in jedem dazu ähnlichen Dreieck.

Wenn die Seite a = 12 cm ist und b = 8 cm, dann gilt: a:b = 1,5. Dann gilt auch: a':b' = 1,5. Ist dann zum Beispiel die Seite a' = 45 cm dann gilt die Verhältnisgleichung: 45 : x = 1,5. Auflösen gibt: x = 30 und damit b' = 30 cm. Mit dem Strahlensatz kann man oft leicht solche Verhältnisgleichungen aufstellen. Wie man sie löst ist erklärt im Artikel 👉 Verhältnisgleichung lösen

Versuche zum Strahlensatz

10 bis 30 Minuten 👉 Baumhöhe über Strahlensatz

5 bis 10 Minuten 👉 Lupen-Kino

Praktischer Nutzen

Messen ist oft teuer.

Wer mit großer Mühe geometrische Rechenverfahren erlernen soll, darf zu Rech nach dem praktischen Nutzen fragen. Oft kann man Längen ja auch einfach messen. Dann muss man nicht so aufwändig rechnen. Das ist oft wahr, aber nicht immer. Vermessungen auf Baustellen, in Städten oder der Natur können sehr schnell sehr teuer werden. Stellen wir uns vor, es soll eine längere Strecke in einem eng bewachsenen sumpfigen Gelände vermessen werden. Der Boden ist oft weich, Bäume stören den Blickkontakt. Die Sache ist nicht ganz einfach.

Für die Vermessung einer Strecke von etwa 2 Kilometern im Gelände (Wald und Wiese) mit einem Theodolit oder einer Totalstation kann man Kosten grob abschtätzen. Bei einem Abstand typischen von etwa 100 m zwischen den Stationen ergeben sich rund 20 Messpunkte über die 2 km. Das Aufstellen und Horizontieren des Instruments an jeder Station dauert je nach Erfahrung und Gelände zwischen 5 und 30 Minuten, die Winkel- und Distanzmessung wenige Minuten. Dazu kommt die Zeit für das Umstellen des Instruments auf die nächste Station. Summiert man diese Werte, ergibt sich ein grober Gesamtzeitbedarf von etwa 4 bis 8 Stunden für die aktive Feldarbeit auf der gesamten Strecke. Die Preise für Gehilfen und Vermessungsingenieure lagen 2026 zwischen 30 bis an die 100 Euro pro Stunde. Arbeiten ein Gehilfe und ein Ingenieur zum Beispiel 8 Stunden lang an einer solchen Strecke, kann das schnell Richtung 1000 Euro oder mehr kosten.

Wenn sich jetzt aber die Möglichkeit ergibt, aus zwei bereits teuer bezahlten Längenangaben durch bloßen Strahlensatz weitere Längen zu berechnen, spart man viel Zeit und Geld.

Und abgesehen von den Kosten gibt es einen weiteren Vorteil. Vielleicht kann man die Länge einer bestimmte Strecke gar nicht messen, sie von Bäumen, einem undurchdringlichen Sumpf oder einem Berg blockiert ist. Man kann dann jedoch Strecken um das Hinternis herum messen und die gesuchte Strecke am Ende indirekt einfach berechnen.^[1]

Fußnoten

[1] Die Entwicklung, das Herausschälen neuer Erkenntnisse, Aspekte oder Einsichten aus bereits vorhandenem Wissen ist eine typische Methode wissenschaftlichen Denkens. Man spricht von einer sogenannten 👉 Deduktion

[2] "Werden zwei Strahlen S1 und S2, die einen gemeinsamen Anfangspunkt Z haben, von zwei zueinander parallelen Geraden geschnitten…": in dieser Formulierung ist implizit enthalten dass die zwei parallelen Geraden die zwei sich kreuzenden Strahlen schneiden. Das schließt die Möglichkeit aus, dass eine der zwei parallel Geraden echt parallel (also auch verschieden) zu einer der zwei sich kreuzenden Geraden ist. Es lässt aber streng genommen die Möglichkeit zu, dass ein der zwei zueinander parallelen Geraden identisch mit einer der zwei sich kreuzenden Geraden ist. Die Parallelität einer der zwei zueinander parallelen Geraden zu irgendeiner der zwei sich kreuzenden Geraden explizit auszuschließen erscheint also sinnvoll. Die Definition steht in: Guido Walz: Spektrum Lexikon der Mathematik. Band 5: Sed bis Zyl; 2002; ISBN: 3-8274-9437-1. Dort im Artikel "Strahlensatz" auf Seite 121.

[3] Wie man mit Hilfe der Strahlensätze die Entfernung zu einem Haus messen kann, ohne dass die zu messende Strecke selbst zugänglich sein muss, zeigt eindrucksvoll ein Bild von Levinus Hulsius aus dem Jahr 1604. Das Bild gehört in das Buch: Erster Tractat der mechanischen Instrumenten. Gründtlicher, augenscheinicher Bericht deß newen geometrischen gruntreissenden Instruments, Planimetra genannt, Frankfurt am Main, 1604. Dort die Seite 114.

[4] Zur Abschätzung der Zeit für Längenmessungen: "The objective of this thesis is to evaluate and compare precision, accuracy and time expenditure of total station (TS), Global Positioning System (GPS) and terrestrial laser scaner (TLS)." In: Solomon Dargie Chekole: Surveying with GPS, total station and terresterial laser scaner: a comparative study. Royal Institute of Technology (KTH)Stockholm, Sweden. Mai 2014.