Basiswissen

Man hat zwei ähnliche Dreiecke. Ähnlich heißt: beide haben exakt dieselbe Form, sie dürfen aber unterschiedlich groß sein. Der Strahlensatz sagt dann, wie man unbekannte Längen auf einfachem Weg schnell berechnen kann.

Bildbeschreibung und Urheberrecht — Man sieht eine gestellte Situation zur Messung einer Schiffshöhe.☛

Einführung

Der Strahlensatz, oft wird auch von einem ersten und zweiten Strahlensatz gesprochen, wird meistens über Formeln zu bestimmten Seiten von Dreiecken erklärt. Die Erklärung hier führt zu denselben Ergebnissen, leitet aber den Strahlensatz anschaulich aus der Idee ähnlicher Dreiecke her. Der Strahlensatz ist damit keine neues eigenes Thema sondern nur eine Anwendung des Themas ähnlicher Dreiecke.

Der Strahlensatz liefert ähnliche Dreiecke

Zuerst soll man zwei Geraden zeichnen, die sich schneiden.

Diese nennen wir die Kreuzgeraden.

Dadurch entsteht eine X-Figur.

Man stellt sich das X als unendlich lang vor.

Jetzt zeichnet man zwei andere Geraden.

Diese zwei weiteren Geraden sollen zueinander parallel und verschieden sein.

Diese zwei Geraden nennen wir hier kurz die Parallelen.

Man muss dabei zwei Bedingungen einhalten, dass am Ende zwei ähnliche Dreiecke entstehen:

I Keine der zwei Parallelen darf durch den Kreuzungspunkt des X gehen.

II Keine der zwei Parallelen darf parallel zu einer der zwei Kreuzgeraden sein.

Es ist ansonsten völlig egal, wo die zwei parallelen Geraden liegen.

Es werden dann am Ende immer zwei Dreiecke in dem Bild entstanden sein.

Und diese Dreiecke sind immer ähnlich zueinander.

Ähnlich heißt: sie haben auf jeden Fall dieselbe Form.

Sie dürfen aber unterschiedlich groß sein.

Der Hinweis stammt von Kai Kuckelkorn, Dezember 2025

Die Bedingung, dass keiner der zwei Parallelen nicht gleichzeitig auch parallel zu einer der zwei Kreuzgeraden sein darf, findet man in gängigen Lehrwerken nicht ausdrücklich mit angegeben. Die Einschränkung macht aber Sinn, wenn die vier gezeichneten Geraden zuverlässig immer zwei ähnliche Dreiecke ergeben sollen. Die Einschränkung ist wohl zumindest teilweise in der Aussage mit enthalten, dass die zwei zueinander parallelen Geraden die zwei sich kreuzenden Geraden schneiden.^[2]

Versuche zum Strahlensatz

10 bis 30 Minuten 👉 Baumhöhe über Strahlensatz

5 bis 10 Minuten 👉 Lupen-Kino

Was meint "Strahl"?

In der Geometrie ist ein Strahl immer eine gerade Linie.

Ein Strahl hat einen Anfangspunkt aber keine Ende.

Für einen Strahlensatz ist es aber nur wichtig, dass die Linie gerade ist.

Es ist egal, ob sie unendlich oder begrenzt ist.

Siehe auch 👉 Strahl

Was ist der Nutzen des Strahlensatzes?

Mit Hilfe des Strahlensatzes kann man Entfernungen und Längen von Strecken messen sozusagen, ohne dass man dabei die zu messende Strecke selbst erreichen können muss. Man kann etwa den Abstand zu einem Turm auf einer fernen Insel bestimmen oder die Höhe eines Berges, den man nicht erklimmen kann. Das geht zwar auch mit Hilfe der sogenannten Trigonometrie, also der Geometrie mit Hilfe von Winkeln, aber beim Strahlensatz muss man noch nicht einmal Winkel messen. Die genaue Messung von Winkeln kann je nach Gelände kann sehr viel aufwändiger sein als das Abschreiten und Messen von Strecken. Es genügt, wenn man Strecken misst (etwa durch Abschreiten) und eine einfache Peilvorrichtung hat (im einfachsten Fall ein kleines Rohr). Verschiedene Anwendungen waren immer wieder Gegenstand von ausführlichen Erklärungen in historischen Büchern^[1].

Fußnoten

[1] Wie man mit Hilfe der Strahlensätze die Entfernung zu einem Haus messen kann, ohne dass die zu messende Strecke selbst zugänglich sein muss, zeigt eindrucksvoll ein Bild von Levinus Hulsius aus dem Jahr 1604. Das Bild gehört in das Buch: Erster Tractat der mechanischen Instrumenten. Gründtlicher, augenscheinicher Bericht deß newen geometrischen gruntreissenden Instruments, Planimetra genannt, Frankfurt am Main, 1604. Dort die Seite 114.

[2] "Werden zwei Strahlen S1 und S2, die einen gemeinsamen Anfangspunkt Z haben, von zwei zueinander parallelen Geraden geschnitten…": in dieser Formulierung ist implizit enthalten dass die zwei parallelen Geraden die zwei sich kreuzenden Strahlen schneiden. Das schließt die Möglichkeit aus, dass eine der zwei parallel Geraden echt parallel (also auch verschieden) zu einer der zwei sich kreuzenden Geraden ist. Es lässt aber streng genommen die Möglichkeit zu, dass ein der zwei zueinander parallelen Geraden identisch mit einer der zwei sich kreuzenden Geraden ist. Die Parallelität einer der zwei zueinander parallelen Geraden zu irgendeiner der zwei sich kreuzenden Geraden explizit auszuschließen erscheint also sinnvoll. Die Definition steht in: Guido Walz: Spektrum Lexikon der Mathematik. Band 5: Sed bis Zyl; 2002; ISBN: 3-8274-9437-1. Dort im Artikel "Strahlensatz" auf Seite 121.