Stetige Funktion
Definition
Basiswissen
Eine stetige Funktion hat keine Lücken im Definitionsbereich. Es gibt auch keine Sprünge in den y-Werten. Es darf aber Knicke geben. Kleine Änderungen von x ergeben immer auch nur kleine oder keine Änderung von y. Das ist hier kurz noch erläutert.
Stetige Funktionen haben keine Lücken oder Sprünge
Eine Funktion heißt dann stetig, wenn man ihren Graph in einem kartesischen Koordinatensystem ("normales" Koordinatensystem) ohne Absetzen eines Stiftes zeichnen könnte. Es gibt also keine Sprünge oder Lücken. Es darf aber Knicke geben. Siehe auch Stetig ↗
Stetige Funktionen sind niemals chaotisch
Stetig bei Funktionen heißt, daß sich die Funktionswerte (y) nur wenig ändern, wenn sich die Argumente (x) wenig ändern. Das heißt, es gibt keine Stelle, an der man x beliebig wenig ändern kann und es dadurch zu einer beliebig großen Änderung des y-Wertes kommt. Das Spektrum Lexikon der Mathematik[1] beschreibt das anschaulich darüber, dass eine stetige Funktion nicht "chaotisch" ist[1]. Siehe auch chaotisch ↗
Stetige Funktionen und Grenzwerte
Das Mathematik-Nachschlagewerk Bronstein definiert die Stetigkeit einer Funktion an einer bestimmten Stelle über den Grenzwert: eine Funktion f(x) heißt an der Stelle x=a stetig, wenn a) f(x) an der Stelle definiert ist und b) der Limes von f(x) gegen a gleich f(a) ist[2]. Das heißt anschaulich: wenn man sich auf dem Graphen langsam an einen Punkt mit dem x-Wert a herantastet, der kommt man dem Funktionswert immer näher, er ändert sich nicht plötzlich sprunghaft. Siehe auch Limes ↗
Stetigkeit und abschnittsweise definierte Funktionen
Für sogenannte abschnittsweise definierte Funktionen wird oft gefordert, dass der gesamte Graph lückenlos ist, dass sich also die Teilabschnitte ohne Sprünge und ohne Lücken gegenseitig berühren. Formal heißt das, dass für zwei angrenzende Teilbereiche f und g gilt f(x)=g(x). Das ist näher erklärt im Artikel abschnittsweise definierte Funktion ↗
Stetigkeit und Differenzierbarkeit
- Die Stetigkeit ist eine notwendige Bedingung für die Differenzierbarkeit
- Sie ist aber keine hinreichende Bedingung ↗
- Eine Funktion kann stetig, sein, aber trotzdem nicht überall differenzierbar.
- Das ist zum Beispiel der Fall bei Knicken im Graph.
- Als Beispiel siehe die Zickzack-Funktion ↗
Fußnoten
- [1] Guido Walz: Spektrum Lexikon der Mathematik. Band 5: Sed bis Zyl; 2002; ISBN: 3-8274-9437-1 Spektrum Lexikon der Mathematik ↗
- [2] Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 10. Auflage, 2016. ISBN: 978-3-8085-5789-1. Verlag Harri Deutsch. Seite 60. Siehe auch Der Bronstein ↗