Schatten-Größen-Paradoxon
Sonnenabstand
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Erklärung über den Strahlensatz｜
Punktlichtquelle als Modellannahme｜
Lichtstrahlen als Modellannahme｜
Zwischenfazit｜
Der Strahlensatz｜
Die Abstandsformel｜
Kurvendiskussion｜
Schatten gegen unendlich｜
Schattenlänge etwa gleich Objektlänge =｜
Wichtige Schlüsse
Definition
Wirft man mit der Hand in einem Zimmer einen Schatten auf eine Wand, dann ändert sich die Größe des Schattens sehr deutlich, wenn man näher auf die Lichtquelle zugeht (wird größer) oder näher an die Wand herangeht (wird kleiner). Macht man denselben Versuch im Freien mit der Sonne, hat die Entfernung der Hand zur Sonne keinen erkennbaren Einfluss auf die Größe des Schattens. Tatsächlich kann man das Phänomen mit dem Strahlensatz und der Strahlenoptik erklären. Es handelt sich also nicht um ein echtes noch ungelöstes Paradoxon, sondern um ein Scheinparadoxon.
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Wer als Kind gerne mit der Hand Schattenfiguren an die Wand geworfen hat, kennt den Effekt: wenn man die Hand sehr nahe an die Lichtquelle heranführt, wird der Schatten immer größer. Und umgekehrt, wird er immer kleiner wenn man nahe an die Wand heranrückt.
Bewegt man ein Brett zwischen einer Tischlampe und einer Wand hin und her gilt: je näher an der Wand, desto kleiner der Schatten. Und umgekehrt: je näher an der Lampe, desto größer der Schatten. Man könnte von einem Gesetz der wechselnden Schattengröße sprechen.
Stellt man sich die Lampe als Punktlichtquelle vor, kann man das Phänomen mit der zentrischen Streckung oder mit dem Strahlensatz modellieren. Ganz anders sieht die Sache aus, wenn man die Sonne als Lichtquelle benutzt:
Ganz egal wie weit entfernt man ein Brett zum Boden hin hält oder wie nahe man damit an die Sonne heranrückt: die Größe des Schattens zeigt keine erkennbare Veränderung.
Der scheinbare Widerspruch, das (Schein)Paradoxon ist nun: wenn man die Entfernung eines schattenwerfenden Objektes zur Projektionsfläche (Wand, Boden) oder zur Lichtquelle (Tischlampe, Sonne) ändert, geht damit manchmal eine drastische Änderung der Größe des Schattens einher, manchmal aber auch nicht. Wie kann das sein?
Erklärung über den Strahlensatz
Der Strahlensatz, eng verwandt mit der Idee der zentrischen Streckung, ist ein mathematisches Modell, mit dem sich das scheinbare Paradoxon erklären lässt. Dazu macht man zunächst zwei Vereinfachungen und kann dann damit eine einfache Formel aufstellen. Vereinfachungen der gedachten Wirklichkeit speziell für ein Gedankenmodell nennt man auch Modellannahmen.
Punktlichtquelle als Modellannahme
Die Lampe im Zimmer und die Sonne am Himmel kann man sich für die Theorie als eine sogenannte Punktlichtquelle vorstellen. Bei einer Punktlichtquelle gehen die gedachten Strahlen des Lichts alle gemeinsam von einem einzigen mathematisch unendlich kleinen Punkt aus. Damit entgeht man der Komplikation, dass eine ausgedehnte Lichtquelle, bei der die Strahlen gedanklich von vielen nebeneinander liegenden Punkten ausgehen, kompliziertere Schattenformen.
Ein Gegenstand, der von mehreren Richtungen (zwei oder mehr) angestrahlt wird, erzeugt ein Schattenbild mit verschieden dunklen Schatten. Man spricht von einem Kernschatten (Umbra) und einem Halbschatten (Penumbra). Siehe auch den Artikel zum 👉 Kernschatten
Die zusätzliche Komplexität, die die Phänomene rund um Kern- und Halbschatten mit sich bringen, sind nicht wesentlich für die Größe der Schatteneffekte. Man kann sie also vernachlässigen. Stellt man sich die Zimmerlampe und die Sonnenkugel als einen mathematisch unendlich kleinen Punkt vor, hat man auf der Seite des Schattens entweder volle Beleuchtung oder vollen Schatten. Es gibt keine unscharfen Ränder oder sogar fließende Übergänge. Das macht die Betrachtung deutlich simpler. Siehe auch 👉 Punktlichtquelle
Lichtstrahlen als Modellannahme
Eine zweite Modellannahme betrifft die Natur des Lichts. In Worten wie Lichtstrahl, Sehstrahl oder Strahlenoptik klingt die entscheidende Idee an: man stellt sich Licht als etwas vor, das aus geraden Linien besteht, den Strahlen. Diese Linien denkt man sich mathematisch als unendlich dünn vor. Sie haben ihren Anfang in der Punktlichtquelle. Und dann erstrecken sie sich von dort aus so lange in den umgebenden Raum, bis sie auf etwas treffen, dass sie schluckt (absorbiert) oder in der Richtung ablenkt (Brechung, Spiegelung).
Licht besteht nicht wirklich aus echten Strahlen. Die Modellannahme führt jedoch zu oft verblüffend guten Folgerungen, die dann auch auf die Wirklichkeit passen.
Instantan
Beugung
Die Beugung führt dazu, dass der Schatten von einem Nagel oder das Lichtbild eines schmalen Schlitzes in einer Wand nicht mehr geometrisch richtig die Form des Objektes abbildet. Es entstehen vielmehr komplizierte Muster von Hell und Dunkel, die man mit der Idee von Licht als Strahlen nicht erklären kann.
Licht als Welle
Zwischenfazit
In unserem Modell von Licht mit Strahlen gedacht halten wir also nun einige Vereinfachungen fest. Diese Vereinfachungen passen nicht perfekt auf alle Phänomene der Wirklichkeit. Aber die Mängel im Modell haben keinen Einfluss auf die Logik der Größe der Schattenbilder.
- Das Licht geht nicht von mehreren Stellen eines größeren Körpers aus. Es entspringt immer nur in einem mathematisch unendlich klein gedachten Punkt.
- Das Licht erfüllt den Raum schlagartig (instantan), wenn die Lichtquelle leuchtet.
- Das Licht besteht gedanklich aus geraden Strahlen.
Der Strahlensatz
Der Strahlensatz der Geometrie kann jetzt das Paradoxon über die scheinbare Unveränderlichkeit von Schatten im Sonnenlicht erklären.
Für die Phänomene rund um die Schattengröße wichtig ist der Strahlensatz mit der V-Figur. Die Zimmerlampe und die Sonne nehmen dabei die Rolle des Punktes Z ein. Von Z als gedachter Punktlichtquelle gehen die Strahlen aus. Die Strecke AB ist dann das schattenwerfende Objekte, die Strecke A'B' ist der Schatten.
Den Strahlensatz gibt es in verschiedenen Formulierungen. Die für unser Problem mit der Schattengröße am besten passende Formulierung ist die Sichtweise, dass man ein kleines Dreieck ZAB und ein großes Dreieck ZA'B' hat. Die beiden Dreiecke sind dann immer ähnlich zueinander. Man kann dann formulieren:
Das Verhältnis einer Seite im großen Dreieck zu ihrer entsprechenden Seite im kleinen Dreieck ist immer gleich dem Vergrößerungsfaktor k. Dieser Vergrößerungsfaktor ist für alle Paare zueinander entsprechender Seiten gleich groß.
Der Vergrößerungsfaktor ist das Sesam-öffne-dich, um zwischen den Längen der beiden Dreiecke hin und her rechnen zu können. Kennt man die Länge der beiden Schatten, einmal nahe an der Projektionsfläche und einmal weiter davon entfernt (also näher zur Lichtquelle), dann ist der Vergrößerungsfaktor k der Quotient aus
Wir haben hier die üblichen Bezeichnungen für den Strahlensatz um, sodass wir passendere Bezeichnungen für das Denken mit dem Schattenmodell bekommen. Wir wählen die Bezeichnung ähnlich wie bei der sogenannten Linsenformel:
- AB ist jetzt die Objektlänge: l
- ZA ist der Abstand des Objekts zur Lichtquelle, die Gegenstandsweite: g
- AA' ist der Abstand des Objektes zur Projektionsfläche, die Bildweite: b
- A'B' ist die Länge des Schattens: l'
- ZA' ist die Entfernung von der Lichtquelle zur Projektionsfläche, die Systemweite: s
Mit dieser Deutung, kann man jetzt zwischen der Objektlänge und der Schattengröße einerseits und den dazugehörigen unterschiedlichen Entfernungen zur Projektionsfläche und zur Lichtquelle andererseits hin und her rechnen. Mit den angepassten Formelzeichen kann man schreiben:
l':l = s:g
Da sich der Abstand der Lichtquelle zur Projektionsfläche aus dem Abstand des Objektes zur Lichtquelle und dem Abstand des Objekts zur Projektionsfläche zusammensetzte (g+b=s und damit auch g=s-b), kann man auch schreiben:
l':l = s:(s-b)
Anschaulich heißt das: wenn der Schatten k mal so groß ist wie das Objekt lang ist, dann ist ist der Abstand der Projektionsfläche von der Lichtquelle (s oder g+b) auch k mal so groß wie der Abstand des Objektes zur Lichtquelle.
Je nachdem welche Größen man dann in einem Versuch leichter bestimmen kann, wählt man die eine oder andere Formel, um daraus den Abstand der Lichtquelle zur Projektionsfläche zu berechnen. Man formt die zwei Gleichungen um nach s und erhält dann als Formeln für den Abstand:
- s = g·l':l
- s = b:(1-l:l')
Praktisch interessant für unser Scheinparadoxon ist vor allem die zweite Variante: kennt man die Länge des Objektes, des Schattens und den Abstand des Objektes zum Schatten, kann man daraus die Entfernung der Lichtquelle zur Projektionsfläche berechnen. Mit der zweiten Gleichung haben wir damit eine praktische Abstandsformel.
Die Abstandsformel
Im vorigen Abschnitt haben wir eine Formel für den Abstand einer Lichtquelle zur Projektionsfläche geometrisch aus dem Srahlensatz hergeleitet. Probieren wir diese Formel nun praktisch aus.
Angenommen eine Tischlampe strahlt eine helle Wand in einem Raum an. Wir halten dann einen Stab so parallel zu der Wand, dass er einen Schatten wirft. Nehmen wir als Objekt einen Meterstab. Dann sind folgende Messwerte durchaus denkbar.
Gegeben
- Die Länge des Objektes: l = 1 m
- Die Länge des Schattens: l' = 1,4 m
- Der Abstand des Objektes zur Wand: b = 0,8 m
Formel
- s = b:(1-l:l')
Einsetzen
- s = 0,8:(1-1:1,4)
- s = 2,8
Bei den gemessenen Größen müsste der Abstand der Lampe zur Wand s also etwa 3 Meter sein. Das kann man in einem einfachen Experiment leicht selbst überprüfen.
Kurvendiskussion
Man kann nun eine Kurvendiskussion für die Abstandsformel machen. Die Idee ist, durch einfache Überlegungen und ohne aufwändige Rechnung ein Gefühl dafür zu bekommen, was die Formel aussagt und ob sie realistisch ist. Man kann dafür einige Sonderfälle auswählen, deren Ergebnis man nicht nur analytisch über die Formel sondern auch rein anschaulich-geometrisch denkend bewerten kann. Mathematisch gesprochen machen wir dazu Grenzwertbetrachtungen.
Schatten gegen unendlich
Schon kleine Kinder beobachten oft fasziniert, wie der Schatten der eigenen Hand schier das ganze Schlafzimmer verschlucken will, wenn man mit der Hand sehr nahe an die Nachttischlampe geht. Welchen ganz generellen Schluss könnte man über die Entfernung der Lichtquelle ziehen, wenn die Schattengröße sehr schnell ins Unendliche zu gehen scheint?
- s = b:(1-l:l')
Dass die Länge l' des Schattens sehr, sehr groß im Vergleich zur eigentlichen Objektlänge l wird, heißt mathematisch, dass der Quotient l:l' gegen Null geht.
Wenn aber l:l' gegen 0 geht, geht der Term in der Klammer gegen 1. Und damit geht s gegen b. Der Schluss aus einem Schatten, der enorm viel größer ist als das Objekt ist dann: die Bildweite b ist fast gleich der Systemweite s. Oder anders gesagt: das Objekt ist fast an der Lichtquelle. Der Abstand vom Objekt zur Projektionsfläche ist fast gleich dem Abstand der Lichtquelle zur Projektionsfläche.