Zentrische Streckung
Geometrie: vergrößerern oder verkleinern
Basiswissen
Bei der zentrischen Streckung hat man am Anfang eine Originalfigur. Original- oder auch Ausgangsfigur meint: irgend ein 2D- oder 3D-Gebilde (z. B. Dreieck, Würfel). Über eine zentrische Streckung wird die Originalfigur vergrößert oder verkleinert. Die vergrößerte oder verkleinerte Figur nennt man die Bildfigur.
Die Idee des Streckungsfaktors
Der Streckungsfaktor, oft a oder k abgekürzt, kann auf zwei verwandte aber doch unterschiedliche Weisen anschaulich gedeutet werden. Diese anschaulichen Deutungen sind der Schlüssel zum Verständnis de zentrischen Streckung:
- a) der Streckungsfaktor a oder k sagt, wie viel mal so lang ist die Strecke vom Streckzentrum Z bis zu einem Punkt der neu entstehenden Bildfigur wie die Länge der Strecke vom Streckungszentrum Z bis zum entsprechenden Punkt der Originalfigur.
- b) der Streckungsfaktor a oder k sagt, wie viel mal so lang eine beliebige Strecke der neuen Bildfigur im Vergleich zur entsprechenden Strecke der anfängichen Originafigur ist.
Diese Deutungen treffen auf beliebige positive wie auch negative Streckungsfaktoren wie etwa 0,2 oder 5 oder auch -2 zu.
Anleitung zur zentrischen Streckung, positiver Streckungsfaktor
- Positive Streckungsfaktoren sind zum Beispiel 0,2 oder 2 oder 4 oder 10.
- Gegeben sind ein Streckzentrum Z und eine Originalfigur, sowie der Streckungsfaktor k (eine Zahl).
- Man zeichnet möglichst lange gerade Linien vom Streckzentrum Z aus.
- Diese Linien gehen durch die Ecken der Originalfigur.
- Dann misst man die Länge der Strecke vom Streckzentrum Z ...
- bis zu einer bestimmten Ecke A der Originalfigur.
- Diese Länge multipliziert man mit dem Streckungsfaktor k.
- Das Ergebnis ist die Entfernung zum Bildpunkt A' auf dem eingezeichneten Strahl.
- Man geht also von Z aus eine Strecke dieser neuen Länge in Richtung von A.
- Das Ende dieser neu eintragenen Strecke gibt den Bildpunkt A' der Bildfigur.
- Man geht dann für alle weiteren Eckpunkte der Originalfigur auf dieselbe Weise vor.
- Am Ende verbindet man die Eckpunkte der Bildfigur.
- Das Ergebnis sollte eine um das k-fache vergrößerte Originalfigur sein.
Anleitung zur zentrischen Streckung, negativer Streckungsfaktor
Bei der zentrischen Streckung mit negativen Streckungsfaktor geht man vom Streckzentrum aus gesehen in die entgegengesetzte Richtung wie bei der Streckung mit positiven Streckungsfaktor. Man kann dazu zunächst eine dünne und sehr lange Hilfslinie zeichnen, die durch Z und einen beliebigen Punkt A der Originalfigur geht. Dabei zeichnet man die Hilfslinie von Z aus gesehen in zwei verschiedene Richtungen. Dann geht man vom Streckzentrum Z aus gesehen in die entgegengesetzte Richtung von A, und zwar k mal so weit, wie die Strecke von Z nach A lang ist. Der Endpunkt der so gezeichneten Strecke gibt den Bildpunkt A'.
Wie bezeichnet man die Ecken der Originalfigur?
- Die Ecken der Originalfigur werden meist mit lateinischen Großbuchstaben bezeichnet.
- Man benennt die Ecken dabei entgegen dem Uhrzeigersinn, also linksherum.
- Siehe auch gegen den Uhrzeigersinn ↗
Wie bennent man die Ecken der Bildfigur?
- Im Prinzip genauso wie die Ecken der Originalfigur.
- Man setzt an die Buchstaben oben rechts nur einen kleinen Strich.
- Der Punkt A aus der Originalfigur wird zu A' in der Bildfigur.
- Man spricht: A-Strich
Was hat das mit dem Thema Ähnlichkeit zu tun?
- Bei einer zentrischen Streckung entstehen immer zueinander ähnliche Figuren.
- Ähnlich heißt: exakt die gleiche Form, aber die Größe darf unterschiedlich sein.
- So heißt beispielsweise der Streckungsfaktor f auch Ähnlichkeitsfaktor.
- Lies mehr zu dem verwandten Thema unter Ähnlichkeit ↗