Basiswissen

Die Subtraktion und die Division aber auch das sogenannte Kreuzprodukt aus der Vektorrechnung sind nicht kommutativ, das heißt: die Anordnung der Zahlen oder sonstien Rechenobjekte ist beim Rechnen nicht egal. Hier stehen kurz aufgelistet einige Beispiele dazu.

Beispiel

Die Subtraktion ist das wohl bekannteste Beispiel für eine nicht kommutative Rechenart: 4-3 gibt nämlich nicht dasselbe wie 3-4. Bei der ersten Rechnung ist das Ergebnis 1, bei der zweiten Rechnung ist es die negative Zahl -1. Dieses eine Beispiel zeigt, dass die Subtraktion nicht kommutativ ist. Wäre sie kommutativ, dürfte man kein einziges Beispiel finden, wo die Vertauschung der Zahlen das Ergebnis verändert.

Nicht kommutative Operationen

Subtraktion ↗

Division ↗

Kreuzprodukt ↗

Spatprodukt ↗

Matrizenmultiplikation ↗

Radizieren ↗

Potenzieren ↗

Alltagsbeispiele

I: Würfelrotationen

Man kann einen einfachen Spielewürfel nehmen.^[1] Man legt ihn so auf den Tisch, dass die Zahl 1 nach oben zeigt, die 4 hin zum Betrachter und die 5 auf der rechten Seite vom Betrachter aus. Wir führen nun zwei Operationen mit dem Würfel aus: a) Umdrehen von oben nach unten und b) Kippen von links nach rechts. Je nachdem was man zuerst macht, kommt ein anderes Ergebnis heraus.

Fall 1: zuerst umdrehen, dann kippen: Der Würfel liegt auf dem Tisch, die 1 zeigt nach oben die 4 nach vorne und die 5 nach rechts. Jetzt wird der Würfel von Kopf nach Fuß (oder Fuß nach Kopf, das ist egal) umgedreht. Nun liegt die 6 oben und die 3 zeigt nach vorne. Dann wird der Würfel eins nach rechts gekippt. Am Ende liegt dann die 2 oben.

Fall 2: Wir beginnen wieder wie im ersten Fall: die 1 ist oben, die 3 vorne und die 4 rechts. Jetzt wird aber zuerst einmal nach rechs gekippt: die 2 liegt jetzt oben. Und wir wir jetzt von oben nach unten umdrehen, zeigt am Ende die 5 nach oben.

Fazit: erst drehen, dann kippen lässt am Ende die 2 nach oben zeigen. Erst kippen, dann drehen lässt am Ende die 5 nach oben zeigen. Die Reihenfolge kann also einen Unterschied machen. Das Kippen und Drehen sind nicht kommutativ.

II: Becherschüttungen

In der Geometrie betrachtet man auch sogenannten Transformationen wie das Verschieben, Drehen oder Spiegeln daraufhin, ob sie kommutativ sind. Ein sehr einfach Beispiel aus dem Alltag hingegen ist das Schütten von Material in ein Glas. Angenommen wir haben drei gleichartige Marmeladengläser von einer Höhe von zum Beispiel 10 Zentimetern:

1. Glas: 4 cm hoch gefüllt mit feinem Sand

2. Glas: 4 cm hoch gefüllt mit Glasmurmeln

3. Glas: zunächst leer.

Nun füllt man jedes der beiden ersten Gläser in das ruhend stehende dritte Glas ein. Das Ergebnis dieser Operation des Zusammenschüttens soll die Höhe im dritten Glas sein, die die beiden Inhalte aus den zwei ersten Gläsern nach dem Umschütten ins dritte Glas einnehmen. Die Höhe wird darüber gemessen, dass man gedanklich oder real eine kreisunde Pappscheibe von oben in das Glas fallen lässt. Die Scheibe soll etwas kleiner sein als der Innendurchmesser des Glases. Die Höhe, in der die Pappscheibe stabil zur Ruhe kommt, soll die zu messende Füllhöhe sein. Nun macht man zwei verschiedene Operationen:

1. Glas + 2. Glas -> Füllhöhe im dritten Glas zum Beispiel 7,8 Zentimeter

2. Glas + 1. Glas -> Füllhöhe im dritten Glas zum Beispiel 6,2 Zentimeter

Bei der ersten Addition füllt der Sand zunächst dicht den unteren Teil des dritten Glases aus. Ohne groß in den Sand einzudringen, werden die Glasmurmeln sich über dem Sand aufeinander legen.

Bei der zweiten Addition sind die Murmeln zuerst im Glas. Je nachdem wie riesel- und fließfreudig der feine Sand ist, wird er mehr oder minder gut die Lücken zwischen den Murmeln ausfüllen. Erst wenn er die Lücken so weit wie ihm durch seine Fließfähigkeit möglich ausgefüllt hat, wird der Sand Höhe über den Murmeln aufbauen.

Fußnoten

[1] Das Beispiel mit den Würfeln stammt aus: Michaela Miedler: Mathematische Bausteine zum Erlernen des Formalismus der Quantentheorie. Diplomarbeit. Universität Wien. Fakultät für Physik. Betreut von Beatrix Hiesmayr. 2019. Online: https://utheses.univie.ac.at/detail/50004