Massenträgheitsmoment


Widerstand gegen die Änderung einer Drehbewegung


Basiswissen


Das Massenträgheitsmoment gibt den Widerstand eines starren Körpers gegenüber einer Änderung seiner Rotationsbewegung um eine gegebene Achse an (Drehmoment geteilt durch Winkelbeschleunigung). Die Formel gilt analog zur Massenträgheit F=m·a für eine => geradlinig beschleunigte Bewegung

Formeln


◦ J = M:a
◦ M = J·a

Legende


◦ J = z. B. in kg·m² => Massenträgheitsmoment
◦ M = z. B. in N·m => Drehmoment
◦ a = z. B. in rad/s² => Kreisbeschleunigung

Wie bestimmt man J experimentell?


◦ Entweder rechnerisch über die Formel J=M:a
◦ Man versetzt etwas in Rotation und bremst es dann z. B. ab.
◦ Man misst das dabei wirkende Drehmoment und die Beschleunigung.
◦ Die Beschleunigung ist die Geschwindigkeitsänderung pro Zeit.
◦ Daraus kann man dann J für den betreffenden Körper berechnen.

Wie bestimmt man J rechnerisch?


◦ Für geometrisch unkomplizierte Körper kann man J fast ablesen.
◦ Für bestimmte Grundgeometrien (Zylinder, Torus, Kegel) gibt es Formeln.
◦ Eine Liste mit entsprechenden Formeln steht unter => Massenträgheitsmomente

Was wäre ein Praxisbeispiel?


Für technische Planungen ist oft die folgende Frage interessant: mit welchem Drehmoment muss man beschleunigen oder bremsen, um die Drehbewegung in einer bestimmten um einen bestimmten Geschwindigkeitsbetrag zu verändern? Das kann über M=J·a bestimmt werden. Konkretes Beispiel: wie stark müssen die Bremsen eines Riesenrades sein, wenn es in 5 Sekunden einen Vollbremsung vollziehen können muss?

Eine Beispielrechnung


Angenommen man habe eine flache Kreisscheibe aus Holz. Ihr Durchmesser ist 10 cm, ihre Masse liegt bei 20 Gramm oder 0,020 kg. Sie soll in ihrem Mittelpunkt mit einem dünnen Nagel durchbohrt werden. Dann wird sie schnell angedreht, bis auf 5 Umdrehungen pro Sekunde. Mit welcher Kraft muss man am Rand tangential bremsen, sodass die Scheibe innerhalb von 2 Sekunden zum Stillstand kommt?

◦ Eine Kreisscheibe ist wie ein (flacher) Vollzylinder.
◦ Formel aus der Tabelle für => Massenträgheitsmoment Vollzylinder
◦ Massenträgheitsmoment J = 0,5·m·r², also J = 0,01·kg·(0,1 m)² = 0,0001 kg·m²
◦ J ist damit jetzt bekannt (0,0001 kg·m²). Jetzt a berechnen:
◦ Von 5 Umdrehung pro Sekunde zum Stillstand in zwei Sekunden:
◦ das ist eine Winkelbeschleunigung a von 900 Grad pro Sekunde pro Sekunde.
◦ Im Bogenmaß sind das: a = 15,7 rad/s²
◦ Jetzt M berechnnen über: M = J·a
◦ Einsetzen: M = 0,0001·kg·m²·15,7 rad/s²
◦ Berechnen: M = 0,00157 Nm
◦ Vom Drehmoment auf Kraft am Kreisrand rückrechnen:
◦ M = l·F, also F = M:l. l ist hier Radius: 0,05 cm
◦ Also: F = 0,031 Newton Bremskraft sind nötig.

Synonyme


=> Massenträgheitsmoment
=> Trägheitsmoment
=> Inertialmoment