Logarithmusfunktion ableiten
Wie man die erste Ableitung f'(x) bildet
Basiswissen
Die Logarithmusfunktion ist nur für positive Funktionsargumente definiert. Der Graph ist überall steigend. Von links nach rechts nimmt die Steigung aber ständig ab, er wird für wachsende x-Werte also flacher. Die Idee zur Bestimmung der Ableitung ist es, einfache Grundformen der Funktion zu verwenden (etwa aus einer Formelsammlung) und dann die Kettenregeln darauf anzuwenden:
Standardableitungen von Logarithmusfunktionen
- Man benutzt folgende Standardableitungen:
- lg(x) abgeleitet gibt 1/[x·ln(10)]
- ld(x) abgeleitet gibt 1/[x·ln(2)]
- ln(x) abgeleitet gibt 1/x
Wichtige Abkürzungen zum Logarithmus
- lg(x) = log₁₀(x) dekadischer Logarithmus ↗
- ln(x) = logₑ (x) natürlicher Logarithmus ↗
- ld(x) = log₂ (x) binärer Logarithmus ↗
Fachworte: Basis eines Logarithmus
lg, ln und ld sind Kurzschreibweisen für log₁₀, logₑ und log₂. Die tiefgestellen Zahlen unten rechts sid in den Kurzschreibweisen also nicht sichtbar, können aber immer mitgedacht werden. Bei lg(x) ist die Basis die Zahl 10, bei ln(x) ist die Basis die eulersche Zahl e und bei ld(x) ist die Basis die Zahl 2. Mehr zu dem Thema steht im Artikel zur Basis eines Logarithmus ↗
Fachworte: Argument eines Logarithmus
Das wovon der Logarithmus genommen wird ist das sogenannte Argument. Das gilt übrigens für alle Funktion: das worauf die angewendet wird heißt immer das Argument. Bei lg(4x²-5) ist also das 4x²-5 das Argument. Bei ln(x) ist einfach das x alleine das Argument. Siehe mehr dazu unter Funktionsargument ↗
Kettenregel für die Logarithmusfunktion
- Das wovon der Logarithmus gebildet wird heißt auch Argument.
- Beispiel: bei ln(4x+8) ist das 4x+8 das Argument.
- Man nennt das Argument auch innere Funktion.
- Der Logarithmus ist dann die äußere Funktion.
- Die Kettenregel lautet: innen abgeleitet mal außen abgeleitet
- Für beliebige Logarithmusfunktionen f(x) gibt das dann:
- f'(x) = Argument abgeleitet mal 1 durch [(ln der Basis) mal Argument]
