Basiswissen

Jede Summe beliebiger Vielfache von Vektoren nennt man eine Linearkombination dieser Vektoren: Man hat zwei oder mehr Vektoren und darf - muss aber nicht - jeden Vektor mit einer beliebigen (reellen) Zahl multiplizieren. Die Ergebnisvektoren addiert man dann alle zusammen. Das Ergebnis ist ein Vektor und dieser Vektor ist dann die Linearkombination der anderen Vektoren.

Zahlenbeispiel einer Linearkombination

Man hat die Vektoren a=(2|0|0) und b=(0|5|3).

Dann wäre zum Beispiel 3a+2b eine mögliche Linearkombination.

Ausgerechnet wäre das: (6|0|0) + (0|10|6) = (6|10|6).

Der Vektor (6|10|6) ist dann eine Linearkombination von a und b.

Was ist ein Skalar bei einer Linearkombination?

Die Vielfache 3 und 2 sind reine Zahlen und keine Vektoren.

Reine Zahlen in der Vektorrechnung nennt man auch ein Skalar ↗

Die Rechnung Zahl mal Vektor nennt man auch skalare Multiplikation ↗

Die Linearkombination anschaulich

Vektoren zu addieren meint: eine Art Domino-Kette bilden, mehr unter Vektorsumme ↗

Bei einer Linearkombination addiert man gegebene Vektoren, darf dabei aber deren Länge vorher ändern, siehe auch Vektorlänge ↗

Durch eine skalare Multiplikation kann man die Vektorlänge ändern, aber Anfangs- und Endvektor bleiben parallel zueinander.

Siehe auch skalare Multiplikation ↗

Sinn einer Linearkombination

Oft ist es praktisch, wenn man zwei oder mehr Vektoren hat …

durch deren Addition man jeden beliebigen Punkt in einem …

3D-Koordinatensystem vom Ursprung aus "ansteuern" kann.

Oder man hätte gerne zwei oder mehr Vektoren, durch deren …

Addition man jeden beliebigen anderen Vektor ersetzen kann.

Dass das funktionieren kann, muss man aber erlauben, dass …

die Vektoren in ihrer Länge verändert werden können.

Sie müssen auch in ihre entgegengesetzte Seite zeigen können.

Dieses Umkippen und auch die Längenänderung wird durch eine …

Multiplikation des Vektors mit einer Zahl erreicht (Vielfache).

So eine Zahl, oben das a oder b, nennt man auch einen Koeffizienten.

Die Addition so veränderbarer Vektoren ist die Linearkombination.

Die Ziele von oben können immer dann erreicht werden, wenn …

die verwendeten Vektoren der Linearkombination lineare unabhängig sind.

Mehr dazu unter linear unabhängig ↗

Linearkombinationen von Funktionen

In der Analysis ist eine Linearkombination eine Addition von skalaren Vielfachen mehrerer Funktionsterme^[2]

Fußnoten

^[1] Zur Definition von Linearkombination: "Eine Linearkombination der Vektoren a, b, c … , d mit den Skalaren α, β, … δ ist ein Vektor der Form K = αa + βb + … + δd." In: Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 10. Auflage, 2016. ISBN: 978-3-8085-5789-1. Verlag Harri Deutsch. Dort die Seite 187.

^[2] Eine Superposition von mathematischen Funktion "auch Überlagerung von Funktionen genannt, meist verstanden als Linearkombination endlich vieler gegebener Funktionen. […] Speziell ist also af+g für zwei gegebene reellwertige Funktionen f und g und eine reelle Zahl α eine Superposition dieser beiden Funktionen." In: der Artikel "Superposition von Funktionen". In: Guido Walz: Spektrum Lexikon der Mathematik. Band 5: Sed bis Zyl; 2002; ISBN: 3-8274-9437-1. Siehe auch Superposition ↗