Basis (Vektorraum)
Definition
Basiswissen
Als Vektorraum bezeichnet man eine Gesamtheit von Vektoren, die miteinander addiert, subtrahiert und die auch mit Zahlen multipliziert werden können. Als Basis eines solchen Vektorraums kann man jede beliebige Teilmenge defieren, also immer irgendwelche Vektoren, die man so als Linearkombination verbinden kann, dass man damit jeden anderen Vektor des gesamten Vektorraums darstellen kann. Das ist hier kurz mit einem Beispiel vorgestellt.
Die Basis eines xyz-Koordinatensystems
Für ein übliches xyz-Koordinatensystem bilden die drei Vektoren (1|0|0), (0|1|0) und (0|0|1) eine mögliche solche Basis. Man darf nun jeden dieser einzelnen Basisvektoren mit einer beliebigen Zahl, einem sogenannten Skalar, multiplizieren. Die drei Ergebnisse kann man dann addieren und erhält darüber eine sogenannte Linearkombination. Mit einer solchen Linearkombination kann man jetzt jeden beliebigen Vektor in einem xyz-Koordinatensystem darstellen.
Zahlenbeispiel zu einer Basis eines Vektorraumes
Angenommen man will den Vektor (10|12|14) mit Hilfe der Basisvektoren darstellen. Man kann dann dazu eine passende Linearkombination bilden: 10·(1|0|0) + 12·(0|1|0) + 14·(0|0|1). Um zu sehen, dass dabei tatsächlich der gewünschte Vektor (10|12|14) herauskommt, kann man zuerst die einzelnen Skalarmultiplikation (Zahl mal Vektor) ausführen und erhält: (10|0|0)+(0|12|0)+(0|0|14). Nun addiert man die drei Vektoren und erhält: (10|12|14). Die Zahlen nennt sind die sogenannten Vektorkoordinaten ↗