Basiswissen

Definition über Nullvektor

• Linear unabhängig bezieht sich auf zwei oder mehr Vektoren.
  

• Zwei oder mehr Vektoren sind linear unabahängig wenn:
  

• sich der Nullvektor als Linearkombination dieser Vektoren ...
  

• nur dann bilden lässt, wenn man für alle Vektoren den ...
  

• Koeffizienten auf 0 setzt.
  

• Es folgt eine Erklärung.
  

Koeffizienten

• Man kann Vektoren addieren und subtrahieren.
  

• Wie das geht, wird hier vorausgesetzt.
  

• Es wird nun noch erlaubt, dass man jeden einzelnen ...
  

• Vektor mit einer beliebigen Zahl multiplizieren darf.
  

• Die einzelnen Vektoren dürfen verschiedene solche Zahlen haben.
  

• Diese Zahlen heißen Koeffizienten der Vektoren.
  

• Beispiel: der Vektor (2|4|5) multipliziert mit ...
  

• dem Koeffizient 3 gäbe den Vektor (6|12|15).
  

• Anschaulich ist das immer eine Längenänderung.
  

• Negative Koeffizienten drehen die Vektoren noch um.
  

Linearkombination

• Wenn man verschiedene Vektoren gegeben hat, ...
  

• dann ist jede Addition dieser Vektoren ...
  

• eine Linearkombination der Vektoren.
  

• Dabei wird erlaubt, dass jeder Vektor ...
  

• vor der Addition mit einem beliebigen ...
  

• Koeffizienten multipliziert wird.
  

Linear abhängig

• Wenn man einen Vektor a als Linearkombination ...
  

• von zwei anderen Vektoren b und c darstellen kann, ...
  

• dann heißt dieser Vektor a linear abhängig von b und c.
  

Linear unabhängig

• Wenn von einer gegebenen Anzahl von Vektoren keine einziger ...
  

• als Linearkombination der anderen Vektoren dargestellt werden kann, ...
  

• dann heißen diese Vektoren linear unabhängig.
  

• Das ist identisch mit der Bedingung, dass man den Nullvektor ...
  

• nur dadurch bilden kann, dass alle Koeffizienten 0 wären.
  

Als philosophische Denkfigur

• Etwas besteht aus zwei unabhängigen Prinzipien Dualismus ↗
  

• Etwas besteht aus unabhängigen aber harmonisisierenden Prinzipien Komplementarität ↗