Basiswissen

In der Geometrie ist eine Kurve eine zusammenhängende Linie. Sie kann gerade oder auch gebogen sein. Für Funktionen ist Kurve ein Synonym für den Graphen. Beide Bedeutungen werden hier kurz vorgestellt.

Geometrie

In der Geometrie ist eine Kurve ein eindimensionales Objekt. Eindimensional bedeutet, dass man sich auf der Kurve nur in einer Richtung (beziehungsweise auch der Gegenrichtung) bewegen kann. Ob die Kurve in der zweidimensionalen Ebene liegt (ebene Kurve) oder in einem höherdimensionalen Raum (Raumkurve), ist in diesem begrifflichen Zusammenhang unerheblich. Eine Kurve kann gerade oder gebogen sein.

Graphen von Funktionen

Funktionen veranschaulicht man oft als Graph, zum Beispiel in einem xy-Diagramm. Dabei werden die Worte Kurve und Funktionsgraph oft synonym verwendet, das heißt sie meinen dann dasselbe^[4]^[5]. Im engeren Sinn beinhaltet der Funktionsgraph aber auch die Achsen des Koordinatensystem und auch Beschriftungen. Die eigentliche Linie an sich ist dann die Kurve. Lies auch unter Funktionsgraph ↗

Der Bogen als gekrümmte Kurve

Ein nicht-gerade Kurve, also eine Kurve mit einer Krümmung - aber ohne Knicke - bezeichnet man als Bogen. Man spricht zum Beispiel von einem Kreisbogen als Teil einer Kreislinie oder einer Bogenlänge im Sinne einer Länge eines Stückes von einem Funktionsgraphen. Lies mehr dazu unter Bogenlänge ↗

Fußnoten

[1] Kurve als Überbegriff für gerade und krumme Linien: "Kurve (lat.), in der Geometrie zunächst eine krumme Linie im Gegensatze zur Geraden, doch rechnet man, wenn man von Kurven überhaupt spricht, gewöhnlich auch die geraden Linien dazu, indem man sie als Kurven betrachtet, deren Krümmung (s. d.) gleich Null ist." In: Meyers Großes Konversations-Lexikon, Band 11. Leipzig 1907, S. 872. Online: http://www.zeno.org/nid/20006959598

[2] Kurve ist immer krumm: "Kurve (lat.), krumme Linie, heißt, wenn sie in einer einzigen Ebene liegt, ebene K. (K. von einfacher Krümmung), im andern Falle Raum-K. (K. von doppelter Krümmung). Die Natur der Krümmung ist bekannt, wenn die Beziehungen zwischen den Koordinaten (s.d.) eines Punktes derselben bekannt sind; diese lassen sich durch eine oder mehrere Gleichungen irgendeines Grades ausdrücken, wonach sich auch der Grad der K. bestimmt." In: Brockhaus' Kleines Konversations-Lexikon, fünfte Auflage, Band 1. Leipzig 1911., S. 1039. Online: http://www.zeno.org/nid/20001283006

[3] Kurve als Funktionsgraph: "Einer Gleichung F(x,y) = 0 für die Koordinaten x und y entspricht oft einer Kurve, die die Eigenschaft hat, dass die Koordinaten jedes beliebigen Kurvenpunktes P der Gleichung genügen und dass umgekehrt jeder Punkt, dessen Koordinaten diese Gleichung erfüllen, auf der Kurve liegt. Die Menge dieser Punkte wird auch geomtrischer Ort genannt." In: Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 10. Auflage, 2016. ISBN: 978-3-8085-5789-1. Verlag Harri Deutsch. Dort Das Kapitel 3.5.2.5 Gleichung einer Kurve" auf Seite 200. Hier ist anzumerken, dass solche Kurve genau dann einen Funktionsgraphen in einem xy-Koordinatensytem ergeben, wenn es für jeden erlaubten x-Wert immer nur genau eindeutig einen ihm zugeordneten y-Wert gibt. Im Koordinatenystem liegen dann niemals zwei Punkte übereinander. Bei einer Kurve an sich, ist es jedoch auch möglich und erlaubt, dass zwei Punkte übereinander liegen. Siehe auch Funktionsgraph ↗

[4] Kurve als Funktionsgraph: "Funktionen können grafisch duch Punkte (x,y) als Kurven oder Funktionsgraphen dargestellt werden." In: Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 10. Auflage, 2016. ISBN: 978-3-8085-5789-1. Verlag Harri Deutsch. Dort Das Kapitel 2.1. Funktionsbegriff" auf Seite 49. Siehe auch Funktionsgraph ↗

[5] Kurve als Funktionsgraph: "Als Funktionsgraph oder kurz Graph (seltener: Funktionsgraf oder Graf) einer Funktion f bezeichnet man in der Mathematik die Menge aller geordneten Paare (x,f(x)) aus den Elementen x der Definitionsmenge und den zugehörigen Funktionswerten f(x). Mitunter können diese Paare als Punkte in der Zeichenebene oder im Anschauungsraum interpretiert werden, sie werden auch Kurve, Kurvenverlauf oder ebenfalls Funktionsgraph genannt." In: Wikipedia-Artikel zu "Funktionsgraph". Abgerufen am 1. März 2024. Online: https://de.wikipedia.org/wiki/Funktionsgraph