Definition

Definition

• Wenn die komplexe Zahl z heißt,
  

• dann ist der Kehrwert KW = 1/z.
  

• Wenn also z=a+bi, dann ist
  

• KW = 1/(a+bi)
  

Was ist die Lösungsidee?

• Man nimmt die komplexe Zahl z.
  

• Man schreibt sie als: 1/z
  

• Man erweitert mit dem konjugiert Komplexen von z.
  

• Man vereinfacht den so entstandenen Term.
  

• Das Ergebnis ist der Kehrwert von z.
  

Wie sieht ein Zahlenbeispiel aus?

• Gegebeben: z = 2+2i
  

• Man schreibt: = 1/z
  

• Ausgeschrieben ist das: 1/(2+2i)
  

• Man erweitert mit dem konjugiert Komplexen von z.
  

• Siehe dazu auch konjugiert komplexe Zahl ↗
  

• Konjugiert komplexes von z = 2-2i
  

• Erweitern heißt: Zähler und Nenner damit malnehmen:
  

• KW = (2-2i)/[(2+2i)(2-2i)]
  

• Die Nenner vereinfachen nach Klammer mal Klammer ↗
  

• Dabei beachten, das i·i per Definition -1 ergibt.
  

• Das kleine i ist die sogenannte imaginäre Zahl ↗
  

• Nenner vereinfachen: (2+2i)·(2-2i) = 4-4i+4i-4i² = 8
  

• Der Nenner gibt damit immer eine reine reelle Zahl.
  

• Für den ganzen Bruch hat man dann: (2-2i)/8
  

• Siehe dazu auch Teilklammern auflösen ↗
  

• Vereinfachen gibt damit:
  

• KW = 0,25-0,25i
  

Probe zur Rechnung

• Wenn 2+2i den Kehrwert 0,25-0,25i hat, dann muss gelten: (2+2i)·(0,25-0,25i)=1
  

• (2+2i)·(0,25-0,25i) = 0,5-0,5i+0,5i-0,5i² = 0,5 + 0,5 = 1 ✓
  

• Zur Erinnerung: i·i oder i² gibt immer -1.
  

• Zur Multiplikation siehe auch komplexe Zahl mal komplexe Zahl ↗
  

Tipp

• Der Zähler von 1/z ist immer das konjugiert Komplexe von z.
  

• Der Nenner von 1/z ist immer (a²+b²), also das Quadrat des Betrages von z.