Kehrwert einer komplexen Zahl
Definition
Definition
Die komplexe Zahl 2+2i hat den Kehrwert 0,25-0,25i. Eine komplexe Zahl mal ihrem Kehrwert muss immer die Zahl 1 ergeben, was hier auch passt: (2+2i)·(0,25-0,25i) = 1. Das ist hier näher erklärt.
Definition
- Wenn die komplexe Zahl z heißt,
- dann ist der Kehrwert KW = 1/z.
- Wenn also z=a+bi, dann ist
- KW = 1/(a+bi)
Was ist die Lösungsidee?
- Man nimmt die komplexe Zahl z.
- Man schreibt sie als: 1/z
- Man erweitert mit dem konjugiert Komplexen von z.
- Man vereinfacht den so entstandenen Term.
- Das Ergebnis ist der Kehrwert von z.
Wie sieht ein Zahlenbeispiel aus?
- Gegebeben: z = 2+2i
- Man schreibt: = 1/z
- Ausgeschrieben ist das: 1/(2+2i)
- Man erweitert mit dem konjugiert Komplexen von z.
- Siehe dazu auch konjugiert komplexe Zahl ↗
- Konjugiert komplexes von z = 2-2i
- Erweitern heißt: Zähler und Nenner damit malnehmen:
- KW = (2-2i)/[(2+2i)(2-2i)]
- Die Nenner vereinfachen nach Klammer mal Klammer ↗
- Dabei beachten, das i·i per Definition -1 ergibt.
- Das kleine i ist die sogenannte imaginäre Zahl ↗
- Nenner vereinfachen: (2+2i)·(2-2i) = 4-4i+4i-4i² = 8
- Der Nenner gibt damit immer eine reine reelle Zahl.
- Für den ganzen Bruch hat man dann: (2-2i)/8
- Siehe dazu auch Teilklammern auflösen ↗
- Vereinfachen gibt damit:
- KW = 0,25-0,25i
Probe zur Rechnung
- Wenn 2+2i den Kehrwert 0,25-0,25i hat, dann muss gelten: (2+2i)·(0,25-0,25i)=1
- (2+2i)·(0,25-0,25i) = 0,5-0,5i+0,5i-0,5i² = 0,5 + 0,5 = 1 ✓
- Zur Erinnerung: i·i oder i² gibt immer -1.
- Zur Multiplikation siehe auch komplexe Zahl mal komplexe Zahl ↗
Tipp
- Der Zähler von 1/z ist immer das konjugiert Komplexe von z.
- Der Nenner von 1/z ist immer (a²+b²), also das Quadrat des Betrages von z.