Imaginäre Zahl
Z. B. 0+4i oder 2i oder nur i
Basiswissen
Eine imaginäre Zahl ist immer das Produkt aus einer reellen Zahl b und der imaginären Einheit i. Beispiel: 4i oder -0,025i wären beides imaginäre Zahlen. In der Gaußschen Zahlenebene liegt eine imaginäre Zahl immer auf der y-Achse (Realteil ist 0[1]). Und das Quadrat einer Imaginären Zahl ergibt immer eine negative reelle Zahl[2]. Das ist hier kurz vorgestellt.
Wie ist eine imaginäre Zahl formal definiert?
- Eine imaginäre Zahl ist immer ein Sonderfall einer komplexen Zahl.
- Eine komplexe Zahl besteht aus einem Realteil a und einem Imaginärteil bi.
- Eine imaginäre Zahl ist dann eine komplexe Zahl ohne Realteil a.
- Es ist also nur der Imaginärteil b·i oder kurz: bi
- b nennt man auch den reellen Faktor.
Was ist eine imaginäre Zahl anschaulich?
- Komplexe Zahlen stellt man sich anschaulich in einem xy-Koordinatensystem vor.
- Dieses Koordinatensystem nennt man die Gaußsche Zahlenebene.
- Die x-Achse heißt hier Re-Achse und die Im-Achse oder kurz i-Achse.
- Eine imaginäre Zahl ist dann eine Zahl auf der i-Achse.
- Siehe auch Gaußsche Zahlenebene ↗
Welche Eigenschaften haben imaginäre Zahlen?
- In der Gaußschen Ebene liegen sie immer auf der Imaginärachse i, ihr Realteil ist also 0[1].
- Ein imaginäre Zahl zum Quadrat ergibt immer eine reelle Zahl[2].
- Die relle Zahl kann dabei positiv oder auch negativ sein.
- Beispiel: (0+i)² = (0+i)·(0+i) = 0²+0i+i0+i² = i² = -1.
- Die -1 ist eine reelle Zahl.
Fußnoten
- [1] Realteil ist null: "Imaginäre Zahl eine komplexe Zahl, deren Realteil gleich Null ist." In: Guido Walz: Spektrum Lexikon der Mathematik. Band 2: Eig bis Inn; 2001; ISBN: 3-8274-0437-7. Dort der Artikel "Imaginäre Zahl".
- [2] Wurzel aus negativer Zahl: "Eine (rein) imaginäre Zahl (auch Imaginärzahl, lat. numerus imaginarius) ist eine komplexe Zahl, deren Quadrat eine nichtpositive reelle Zahl ist." In: Imaginäre Zahl. Wikipedia. Abgerufen am 10. November 2023. Online: https://de.wikipedia.org/wiki/Imaginäre_Zahl