Basiswissen

√(-1) ist die Wurzel aus der Zahl -1. Die Wurzel von -1 müsste mit sich selbst malgenommen wieder -1 ergeben. Lässt man als Lösung nur reelle Zahlen zu, gibt es keine Wurzel aus der Zahl -1. Lässt man als Lösung aber die sogenannten imaginären und komplexen Zahlen zu, so hat √(-1) zwei Lösungen, nämlich die Zahl i und die Zahl i.

Definition der Wurzel/Quadratwurzel

Spricht man von „der Wurzel“ einer Zahl, so ist damit meistens die sogenannte Quadratwurzel, auch zweite Wurzel genannt, gemeint. Die Wurzel aus der Zahl 16 ist die Zahl 4. Per Definition gilt für Wurzeln aus reellen Zahlen, dass diese nicht negativ sein dürfen. Die Wurzel aus einer reellen Zahl ist also immer Null oder größer als die Null. Das ist auch der Grund, warum die -4 nicht als Wurzel der Zahl 16 gilt, obwohl ja -4 mal -4 wieder 16 ergibt.^[1] Diese Einschränkung gilt aber nicht für sogenannte komplexe Zahlen. Damit kann man für die Wurzel aus -1 drei Fälle unterscheiden.

Fall 1: es gibt keine Lösung

√(-1) steht für die Wurzel von der Zahl minus Eins. Denkt man nur mit reellen Zahlen, gibt es keine Lösung. Zu den reellen Zahlen gehören alle natürliche Zahlen, alle ganze Zahlen, alle echte Kommazahlen und alle Brüche sowie auch alle irrationalen Zahlen (z. B. pi. e etc.). Kurz: alle Zahlen, die irgendwo auf der Zahlengerdaden liegen können. Von diesen Zahlen gibt es keine, die mit sich selbst malgenommen wieder -1 ergibt. Denn: 1·1=1 und (-1)·(-1)=1. Arbeitet man nur mit reellen Zahlen, dann ist die Wurzel von -1 nicht definiert. Siehe auch nicht definiert ↗

Fall 2: die Zahl i als Lösung

√(-1) = i, denn i²=-1: die Wurzel von -1 ist die imaginäre Zahl i. Spätestens seit dem 17ten Jahrhundert hat man sich mit der Frage beschäftigt, was die Wurzel von -1 meinen könnte. Im Laufe der Zeit entwickelte sich aus dieser Frage das Konzept der komplexen Zahlen. Komplexe Zahlen sind Zahlen abseits der Zahlengeraden. Man stellt sie sich als Punkte irgendwo in einem xy-Koordinatensystem vor. Die Wurzel von -1 ist in dieser Vorstellung die Eins auf der y-Achse. Der kleine Buchstabe i steht für "imaginär". i mal i gibt -1. Denkt man mit komplexen oder imaginären Zahlen, dann ist die Wurzel von -1 die Zahl i oder als komplexe Zahl ausgeschrieben: 0+i. Warum (0+i)² genau 1 ergibt sich aus komplexe Zahl mal komplexe Zahl ↗

Fall 3: die Zahl -i als Lösung

√(-1) = -i, denn -i·(-i) = -1·(-1)·i·i = 1·(-1) = -1: auch die Zahl -i gilt als Wurzel der -1, wenn man in komplexen Zahlen denkt.

Was ist √(-1) anschaulich?

i ist anschaulich gedacht die Strecke von (0|0) bis (0|1) im Koordinatensystem für komplexe Zahlen.

Eine komplexe Zahl mit sich selbst zu multiplizieren heißt: man quadriert ihre Länge und ...

man addiert die Winkel, den sie mit der x-Achse einschließt, hier also je 90°.

Das Ergebnis hat also die Länge 1 und den Winkel 180°.

Diese Strecke führt genau zum Punkt (-1|0) als komplexe Zahl.

Diese komplexe Zahl ist aber genau gleich der reellen Zahl -1.

Siehe auch komplexe Zahl ↗

Fußnoten

[1] Dass die Wurzel aus -1 zwei Lösungen hat, nämlich i und -i wird behandelt in: Franz Embacher: Mathematische Grundlagen für das Lehramtsstudium Physik. Vieweg + Teubner. Wiesbaden. 2. Auflage, 2011. ISBN: 978-3-8348-0948-3. Dort im Kapitel "2 Komplexe Zahlen". Seite 19.

[2] Komplexe Zahlen können mehrere Quadratwurzeln haben: die Quadratwurzel ist die "zweite Wurzel aus einer reellen oder komplexen Zahl." Dabei gilt, dass die Wurzel x aus einer reellen Zahl stets größer oder gleich Null ist. "Läßt man dagegen auch komplexe Zahlen zu, so kann man auf jede Einschränkung verzichten und aus jeder beliebigen komplexen Zahl […] zwei Quadratwurzeln ziehen." In: Guido Walz: Spektrum Lexikon der Mathematik. Band 4: Moo bis Sch; 2002; ISBN: 3-8274-0436-3. Dort der Artikel "Quadratwurzel". Seite 305. Siehe auch Quadratwurzel ↗